LibreCAD Apuntes

LibreCAD


Imprimir a escala.
Vista preliminar--> Hay un recuadro con la escala que hay que poner a 1:1.
Se ajusta la posición de A4 y ya está.

Rotar.
Herramientas- Modificar-Rotación
Seleccionar figura. Punto de rotación y grados.

Forzar y crear polininea.
Al iniciar es importante activar el forzado para dibujar "a mano".

Integrales de funciones trigonométricas

Función circular en denominador.

Cambio de variable:
\( tg(\frac{x}{2}=t \)

Obtenemos:

• \( sen(x)=\frac{2t}{1+t^2} \)
• \( cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2} \)
• \( dx=\frac{2}{1+t^2} \)

Integral del tipo:

$$ \int sen(ax)dx $$ (sea sen o cos).

Hacemos:
$$ \frac{1}{a}\int a \cdot sen(ax)dx $$
Y la resolución es inmediata.
Nota.
Recordar la solución general de las integrales de la forma:
\( \int cos(x) \cdot sen^n(x)dx=\frac{sen^{n+1}}{n+1} \)

Integral del tipo:

$$ \int sen^n dx \: o \: \int cos^n dx $$

n par:
\(sen^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2}\)
\(cos^2(x) = \frac{1+cos(2x)}{2}\)

n impar:
\( sen^n(x)=sen(x)sen^{n-1}(x) \)
\( cos^n(x)=cos(x)cos^{n-1}(x) \)

Y se considera que \(sen^2(x)+cos^2(x)01\) así:
\( sen^2(x)=1-cos^2(x) \)
\( cos^2(x)=1-sen^2(x) \)

Integrales del tipo:

$$ \int sen(ax)sen(bx)dx $$
$$ \int cos(ax)cos(bx)dx $$
$$ \int sen(ax)cos(bx)dx $$

Se aplican las fórmulas trigonométricas:

• \(sen(x)sen(y)= \frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y)) \)
• \(cos(x)cos(y)=\frac{1}{2}(cos(x-y)+cos(x+y)) \)
• \(sen(x)cos(y)= \frac{1}{2}(sen(x-y)+sen(x+y)) \)

Formulita para integrales

Integración de funciones racionales

Teniendo \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) si \(P(x) \geq > Q(x)\) se hace división y obtenemos \(R(x) +\frac{P(x)’}{Q(x)}\) con \(P(x)’ < Q(x)\)

En la descomposición tener en cuenta: 

denominadores del tipo \(\frac{p}{x^2 +a}\) generan numeradores tipo \(\frac{Ax+B}{x^2 +a}\)  

Si el denominador es del tipo \((x+a)^2\), genera dos fracciones tipo:  \(\frac{p}{(x +a)}+ \frac{p}{(x +a)^2}\).  

Una fórmula a recordar:

$$\int \frac{1}{(x^2+1)^n}=\frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}} $$

Otro ejemplo.

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx$$ Es fácil de calcular puesto que la derivada de \(arctg(x)\) (arcotangente) es \frac{1}{1+x^2}, por lo tanto la primitiva de la integral y ya está (es fácil de calcular si te sabes la fórmula de memoria, claro).

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx= arctg(x)$$

Pero y si cambiamos un signo en el denominador.

$$\int \frac{1}{1-x^2} dx$$ 

Ya no esta tan claro. Veamos como solventarlo. 

1). Descomponemos la fracción.

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$$

Despejando (igualamos los coeficientes de cada potencia de lado y lado de la igualdad y solucionamos el sistema).

Obtenemos \(A= 1/2\) y \(B=-1/2\).

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}$$

2). Reescribimos la integral:

$$ \frac{1}{2} \int  \frac{1}{x-1}-\frac{1}{2} \int  \frac{1}{x+1}$$

3). Solucionamos:

$$\frac{1}{2} ln(x-1) -\frac{1}{2}ln(x+1)$$

3). Arreglamos los logaritmos a partir de sus propiedades:

Y dado que \(x \cdot ln(p)=ln(p^x)\)

$$ln(\sqrt{x-1}) -ln(\sqrt{x+1})$$

Y considerando otra propiedad de los logaritmos como es \(ln(x)-ln(p)=ln(\frac{x}{p})\), resulta.

$$ \int \frac{1}{1+x^2} dx = ln(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}})$$

Ya ven ustedes lo que puede complicar la cosa un simple signo.

Algoritmos

- Algoritmo Shuting-Yard, para interpretar entradas de fórmulas (rollo (3^3 + 45)/2.)
http://en.wikipedia.org/wiki/Shunting-yard_algorithm

Programa en C++

Un programa en C++, para practicar con cadenas y eso.
Queda más bonito con unos applets que dejan el código muy bonito, pero como hay que ponerlos en la parte HTML del post, y es un código de programación, da errores y cosas raras. Así que lo meto a la antigua usanza.  
El resultado es este:

Es una chorradita, pero haciendo un programa más complejo, se podría ayudar a despejar derivadas bastante complicadas. Si se pone la ecuación como una cadena, el programa puede ir desgranándola y aplicando las reglas de derivación iterativamente. Como ejercicio puede ser interesante. 

//##############################################
/*
Este es un programa de práctica en C++.
Si se introduce una función exponencial con base
y exponente de una solo cifra, retorna su derivada.
*/
//##############################################
//Se declaran librerias que se usaran
#include <iostream> //Esto iria con <> en vez de "" pero blogger no lo coge si no.
#include <string.h>
using namespace std;// Esto es para usar cout,cin.

int main(){

  // Declaro variables#################
   int x=0; //Como enteros. Aquí pongo x a 0 que usaré como contador.
   int base;
   int exp;
   int largo;
   char formula[30]; //Como caracteres
   char signo[2]="^";

   cout<<"La función a ingresar ha de ser de la forma x^y, donde \n";
   cout<<" x e y son enteros. P.ej. 4^6 \n";

cout<<"Ingrese la función: ";//Pregunta por la fórmula

cin>>formula; //Aquí captura la fórmula

largo=strlen(formula); //Mide la lingitud de la fórmula (auqne es siempre 3
            //Servirá para un programa más elaborado

 while (x<largo){ //Aquí empieza un bucle que busca el signo 
if (formula[x]==signo[0]){
 base=formula[x-1];//Asigna el valor del anterior a "^" como
 //base pero como numero ASCII (trabajamos con caracteres).
 exp=formula[x+1];//Aquí le asigna el valor del siguiente de ^ (exponente.

x=largo;} //Con esto se sale del bucle, si no hace cosas raras
               x++; }//Va sumando 1 a x para ir rastreando la cadena
               //Fin de while
cout<<"\n La derivada es :"<<char(exp)<<"*"<<char(base)<<"^"<<char(exp-1);
//Aquí da el resutado. Cuidado porque:
//char()es el valor del caracter en ASCII, pj char(52)=4
}

Programar en C++

Compilador online:
http://cpp.sh/

Cursos:
http://www.cplusplus.com/doc/tutorial/program_structure/
http://www.c.conclase.net/curso/?cap=002b#inicio

Ejemplos:
https://saforas.wordpress.com/2008/01/04/codigos-sencillos-hechos-en%C2%A0c/

Me he instalado en el blog el  google-code-prettify, que se llama usando
<pre class="prettyprint">

Código aquí

</pre>
en el html. Lo anoto aquí como referencia.

// Programa basico
#include "iostream" //Imprime instrucciones en pantalla "" debería ser <> pero da problemas el código bonito este
using std::cout;
int main() // Siempre empieza así
{
        cout << "Hola mundo\n"; // Mensaje de salida
        return 0; //indica que el programa terminó bien
} //fin del programa

Si no ponemos en using std::cout, deberíamos ponerlo cada vez que ponemos cout (salida).

// Programa basico 2
#include "iostream" //Imprime instrucciones en pantalla
using std::cout; // se usa cout es un Out
using std::cin; // ídem pero en In
using std::endl; // ídem endl, fin de linea

int main() // Siempre empieza así
{
    int numero1; // se declara variable (entero)
    int numero2;
    cout << "Escriba dos números a sumar\n\n";
    cin >> numero1 >> numero2; // Lee los dos números
    cout << numero1 + numero2<< endl;
    return 0; //el programa terminó bi
} //fin del programa

// ####################
// # Programa basico 4#
// ####################

#include "iostream" //Imprime instrucciones en pantalla
using std::cout; // se usa cout es un Out
using std::cin; // ídem pero en In
using std::endl; // ídem endl

int main() 
{
    int numero_secreto; // se declara variable (entero)
    int numero1;
   
    srand(time(0)); // Se inicializa el random
    numero_secreto =rand()%1000; // El resto de 1000 de un número al azar
cout<< "Adivine el número secreto entre 0 y 999\n \n";
cout<< "Introduzaca su número\n";
cin>> numero1;

while ( numero1 != numero_secreto )
    {
          if ( numero_secreto > numero1 )
          {
               cout << "Su número es menor." << '\n' << endl;
              
               cout << "Intentelo de nuevo: ";
               cin >> numero1;
          }
          
          if ( numero_secreto < numero1  )
          {
               cout << "Su numero es mayor." << '\n' << endl;
              
               cout << "Intentelo de nuevo: ";
               cin >> numero1;
          }
          
          if ( numero_secreto == numero1  )
          {
               cout << "\n#####################\n"; 
                 cout << "### ¡Ha acertado! ### \n"; 
  cout << "#####################\n\n" << endl;
          }
    }
    
    return 0; 
} 

A continuación, otro código donde se introducen clases y objetos. A mi me parecen las viejas subrutinas del BASIC, pero bueno.

 // Programa de prueba
#include "iostream"
using std::cout;
using std::endl;

//Defino clase
class Letreros
{
public:
 
void correcto()
  {                                  
cout << "╔═══════════════════════╗\n║\t¡Correcto!\t║\n╚═══════════════════════╝  \n"<< endl;    
  }
void error()
  {                                  
cout << "╔═══════════════════════╗\n║\t¡Error!\t║\n╚═══════════════════════╝  \n"<< endl;    
  }
  void bravo()
  {                                  
cout << "╔═══════════════════════╗\n║\t¡Bravo!\t║\n╚═══════════════════════╝  \n"<< endl;    
  }
};

int main()
 {
 Letreros  micartel; //crea un objeto de la clase
 micartel.correcto();
 }
 

Finalmente, podemos añadirle subrutinas u objetos al código anterior.

// ####################
// # Programa basico 4#
// ####################

#include "iostream" //Imprime instrucciones en pantalla
using std::cout; // se usa cout es un Out
using std::cin; // ídem pero en In
using std::endl; // ídem endl

//#################################################
//Defino clase
class Letreros
{
public:
void correcto()
  {                                  
cout << "╔═══════════════════════╗\n║\t¡Correcto!\t║\n╚═══════════════════════╝  \n"<< endl;    
  }
void error()
  {                                  
cout << "╔═══════════════════════╗\n║\t ¡Error!\t║\n╚═══════════════════════╝ "<< endl;    
  }
};//Fin de la clase
//#################################################

int main() 
{
    int numero_secreto; // se declara variable (entero)
    int numero1;
   Letreros  micartel; //crea un objeto de la clase
    srand(time(0)); // Se inicializa el random
    numero_secreto =rand()%1000; // El resto de 1000 de un número al azar
cout<< "Adivine el número secreto entre 0 y 999\n \n";
cout<< "Introduzaca su número\n";
cin>> numero1;

while ( numero1 != numero_secreto )
    {
          if ( numero_secreto > numero1 )
          {
               cout << "Su número es menor." << '\n' << endl;
               micartel.error();
               cout << "Intentelo de nuevo: ";
               cin >> numero1;
          }
          
          if ( numero_secreto < numero1  )
          {    micartel.error();
               cout << "Su numero es mayor." << '\n' << endl;
               
               cout << "Intentelo de nuevo: ";
               cin >> numero1;
          }
          
          if ( numero_secreto == numero1  )
          {
                micartel.correcto();
          }
    }
    
    return 0; 
} 

Demostración de la monotonía de una sucesión

Vamos a mostrar tres métodos con un ejemplo; demostrando que \(\frac{1}{n}\) es una sucesión monótona decreciente. Veamos.

Criterio resta.

Aquí restaremos un elemento de la sucesión del siguiente, para que la sucesión decrezca estrictamente ( \(a_{n+1} \geq 1_n\) ) esta diferencia tendrá que ser mayor que 0.

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n^2 +n}>0$$

Que será siempre mayor que 0 por ser una fracción de números positivos (\(n \in \mathbb{N}\) ). Por cierto, ahí tenemos la fórmula para la distancia de un elemento de la sucesión con el siguiente.

Criterio fracción.

Dividiendo un elemento por el siguiente, como decrece, esa fracción deberá ser mayor que 1. Veamos:

$$\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}= \frac{n+1}{n}>1$$

Criterio derivada.

Si consideramos una función \( \frac{1}{x}\) que toma los mismos valores que la sucesión \( \frac{1}{n}\) cuando \( x = n \), podemos derivarla y ver que el valor de ésta es siempre negativo, es decir, que el valor de la pendiente de la función siempre desciende.

$$\frac{1}{x}'= - \frac{1}{x^2}<0$$ Que es negativa para todos los valores.

Racionalizar

Igual que podemos eliminar raíces con:
$$a^2 - b^2= (a+b)(a-b)$$
Y solventamos cosas como:
$$\frac{\sqrt{2}-2}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2}=\frac{2+2^2}{3 \sqrt{2}+2}$$
Que suele utilizarse en el cálculo de límites para "arreglar" la fórmula. 
Por cierto, entre usted y yo, en los libros de mates, se habla mucho de la formalidad (exactitud y concreción especifísima), pero después te saltan que para ciertos cálculos hay que tener una especie de "intuición". Que la solución a ciertos ejercicios "se sabe" y que hágame estos ejercicios chungos que no le he explicado como se resuelven (y rapidito).
Así que más le vale que se sepa un buen puñado de pasos intermedios, identidades matemáticas (Por ejemplo (\(\sqrt{x}=\frac{x}{\sqrt{x}}\))[1] y teoremas para poder ir por los ejercicios dando fantásticos saltos mortales.
Bueno, a lo que venía. Otra identidad muy práctica para eliminar raíces cúbicas es:
$$a^3 + b^3= (a-b)(a^2 + ab+b^2)$$
Por lo general estas identidades se utilizan cuando en el cálculo de un límite la expresión con la raíz está en un denominador y este se anula (se vuelve 0) siendo una indeterminación que queremos arreglar para poder calcular el límite.  Al utilizar la identidad, en vez de dos elementos que se restan, aparecen los mismo pero que se suman y voila, el denominador ya no es 0.
$$\frac{3}{\sqrt[3]{8}-2}\cdot

\frac{( (\sqrt[3]{8})^2 + \sqrt[3]{8} \cdot 2 + 2^2)}{( (\sqrt[3]{8})^2 + \sqrt[3]{8} \cdot 2 + 2^2)}


=\frac{3(\sqrt[3]{8})^2 + \sqrt[3]{8} \cdot 2 + 2^2) }{(\sqrt[3]{8})^3+2^3}$$



[1] Es fácil demostrar la identidad multiplicando \(\sqrt{x}\) por \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

Apuntes sobre derivadas

* Una función \(f\) es derivable en un punto \(a\), cuando el límite de abajo, existe y es finito (o el límite es infinito y \(f\) continua en \(a\)).
 $$ lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
* La función \(f\), tienen derivada en \(a\) si el límite anterior es igual por derecha e izquierda.
* Si \(f\) es derivable en \(a\), es continua en \(a\). El recíproco no es necesariamente cierto. Por ejemplo \(f(x) = |x|\) es continua pero no derivable en \(f(x)=0\).

Caracterizaciones

\(f\) es continua en \(c\):
$$lim_{x\rightarrow c^+} \: f(x)=f(c)=lim_{x\rightarrow c^-} \ f(x)$$

\(f\) derivable en \(c\):

$$lim_{x\rightarrow c^+} \: \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=lim_{x\rightarrow c^-} \: \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$

Reglas de derivación

$$(f \pm g)'(a) = f'(a) \pm g'(a)$$
$$(f \cdot g)'(a)= f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)$$
$$(\frac{f}{g})'(a)=\frac{f'(a) \cdot g(a) - f(a) \cdot g'(a)}{(g(a))^2}$$
$$(g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a)$$

Ejemplo de cálculo por la fórmula de definición:

$$f(x)=x^2$$
Su derivada sería el límite de:
$$lim_{h \rightarrow 0} \: \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Operando;
$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2hx+h^2}{h}=2x+h=2x+0=2x$$ 

Derivada inversa

Siendo \(f\) monótona y continua en un intervalo (inyectiva), si \(f\) es derivable en el intervalo y \(f'(a) \neq 0\) entonces \(f^{-1}\) es derivable en \(b=f(a)\), siendo: 

$$ (f^{-1})'(b)= \frac{1}{f'(a)}$$

Caracterización continua y monótona

• La continuidad se determina estudiando la misma función (polinómica...)
• La monotonía, si la derivada de \(f\) en el intervalo es \(\forall x > 0 \) o \( \forall x<0\) se garantiza la monotonía.

 .................................--------·····ooooooo0008000ooooooo·····--------..................................

Derivada en un intervalo

Teorema de Weiertrass

Siendo \(f\) en el intervalo K. Todo intervalo tiene máximo y mínimo. 

$$f(a) \leq f(x) \leq f(b) \: \forall x \in K$$

Si \(f\) en un intervalo y derivable, tienen un máximo o mínimo en a, entonces; \(f'(a)=0\).

Pero, tener en cuenta que;

\(f(x) = |x|\) tiene un mínimo en \(f(0)=0\) pero no existe derivada en ese punto. 

Para \(f(x)=x^3 \: \exists f'(x)=0\) pero esa tangente horizontal no es ni máximo ni mínimo.

Todo máximo o mínimo del intervalo K, pertenecen a:

$$A={x \in int(K) \: | \: f'(x)=0}$$

$$B=fr(K)$$

$$C={x \in int(K) \: | \: \nexists f'(x)}$$

Para determinar los extremos de una función en un intervalo hay que estidudiar esos tres conjuntos (derivada = 0, frontera  o interior sin derivada).

Teorema de Rolle

Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y derivable n \((a,b)\) tal que \(f(a)=f(b)\) entonces \(\exists \: c \: \in (a,b) | f'(c)=0\)

Teorema de Cauchy

Si \(f\) y \8g\) continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\) entonces \(\exists \: c \: \in (a,b) \) tal que:

$$[f(b)-f(a)] \cdot g'(c) = [g(b) - g(a)]f'(c)$$

Hay varios corolarios que se desprenden

• Si \(f'(x) = 0\) en \(\forall x\), entonces \(f\) es constante.
• Si \(f'(x) = g(x) \: \forall x\), entonces \(f-g\) es constante.
• Si \(f'(x) = >0 \forall x\), entonces \(f\) es creciente.
• Si \(f\) tiene derivada acotada en \((a,b)\) entonces es uniforme continua en \( (a,b)\).

Regla de l'Hopital

SupperBoonus:
Calculador de derivadas paso a paso.
http://www.derivative-calculator.net/

Repaso de logaritmos

• El logaritmo es la inversade la potencia. \(Log_x (y)=p\) significa que \(x^p = y\). Por ejemplo \(Log_2 (64)=6\) ya que \(2^6 = 64\).
• ln es el logaritmo neperiano (con base e). 

Reglas de operación

$$ln(x \cdot y) = ln (x) + ln(y)$$
$$ln(\frac{x}{y})= ln(x) - ln(y)$$
$$ln(x^y) = y \cdot ln(x)$$
$$ln(\sqrt[y]{x}) = \frac{1}{y} \cdot ln(x)$$

Topología en R. Latex.

Apuntes sobre nociones de topología en \(\mathbb{R}\) en \(\LaTeX \). Concretamente en una web llamada ShareLaTeX, que permite compartir tanto el resultado como el código del documento.

Aquí tienen:

https://www.sharelatex.com/project/53de82288ca615b04693855f#

Es muy interesante (a quien le interese) puesto que permite compartir tanto el resultado, es decir, el PDF, como el código para hacer modificaciones y obtener un PDF de alta calidad. Esta herramienta en linea permite el trabajo colaborativo dando permiso a los colaboradores para modificar el código.

Gracias pos su visita y vuelvan pronto.