Formulita para integrales

Integración de funciones racionales

Teniendo \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) si \(P(x) \geq > Q(x)\) se hace división y obtenemos \(R(x) +\frac{P(x)’}{Q(x)}\) con \(P(x)’ < Q(x)\)

En la descomposición tener en cuenta: 

denominadores del tipo \(\frac{p}{x^2 +a}\) generan numeradores tipo \(\frac{Ax+B}{x^2 +a}\)  

Si el denominador es del tipo \((x+a)^2\), genera dos fracciones tipo:  \(\frac{p}{(x +a)}+ \frac{p}{(x +a)^2}\).  

Una fórmula a recordar:

$$\int \frac{1}{(x^2+1)^n}=\frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}} $$

Otro ejemplo.

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx$$ Es fácil de calcular puesto que la derivada de \(arctg(x)\) (arcotangente) es \frac{1}{1+x^2}, por lo tanto la primitiva de la integral y ya está (es fácil de calcular si te sabes la fórmula de memoria, claro).

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx= arctg(x)$$

Pero y si cambiamos un signo en el denominador.

$$\int \frac{1}{1-x^2} dx$$ 

Ya no esta tan claro. Veamos como solventarlo. 

1). Descomponemos la fracción.

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$$

Despejando (igualamos los coeficientes de cada potencia de lado y lado de la igualdad y solucionamos el sistema).

Obtenemos \(A= 1/2\) y \(B=-1/2\).

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}$$

2). Reescribimos la integral:

$$ \frac{1}{2} \int  \frac{1}{x-1}-\frac{1}{2} \int  \frac{1}{x+1}$$

3). Solucionamos:

$$\frac{1}{2} ln(x-1) -\frac{1}{2}ln(x+1)$$

3). Arreglamos los logaritmos a partir de sus propiedades:

Y dado que \(x \cdot ln(p)=ln(p^x)\)

$$ln(\sqrt{x-1}) -ln(\sqrt{x+1})$$

Y considerando otra propiedad de los logaritmos como es \(ln(x)-ln(p)=ln(\frac{x}{p})\), resulta.

$$ \int \frac{1}{1+x^2} dx = ln(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}})$$

Ya ven ustedes lo que puede complicar la cosa un simple signo.