Integrales de funciones trigonométricas

Función circular en denominador.

Cambio de variable:
\( tg(\frac{x}{2}=t \)

Obtenemos:

• \( sen(x)=\frac{2t}{1+t^2} \)
• \( cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2} \)
• \( dx=\frac{2}{1+t^2} \)

Integral del tipo:

$$ \int sen(ax)dx $$ (sea sen o cos).

Hacemos:
$$ \frac{1}{a}\int a \cdot sen(ax)dx $$
Y la resolución es inmediata.
Nota.
Recordar la solución general de las integrales de la forma:
\( \int cos(x) \cdot sen^n(x)dx=\frac{sen^{n+1}}{n+1} \)

Integral del tipo:

$$ \int sen^n dx \: o \: \int cos^n dx $$

n par:
\(sen^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2}\)
\(cos^2(x) = \frac{1+cos(2x)}{2}\)

n impar:
\( sen^n(x)=sen(x)sen^{n-1}(x) \)
\( cos^n(x)=cos(x)cos^{n-1}(x) \)

Y se considera que \(sen^2(x)+cos^2(x)01\) así:
\( sen^2(x)=1-cos^2(x) \)
\( cos^2(x)=1-sen^2(x) \)

Integrales del tipo:

$$ \int sen(ax)sen(bx)dx $$
$$ \int cos(ax)cos(bx)dx $$
$$ \int sen(ax)cos(bx)dx $$

Se aplican las fórmulas trigonométricas:

• \(sen(x)sen(y)= \frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y)) \)
• \(cos(x)cos(y)=\frac{1}{2}(cos(x-y)+cos(x+y)) \)
• \(sen(x)cos(y)= \frac{1}{2}(sen(x-y)+sen(x+y)) \)