Demostración de la monotonía de una sucesión

Vamos a mostrar tres métodos con un ejemplo; demostrando que \(\frac{1}{n}\) es una sucesión monótona decreciente. Veamos.

Criterio resta.

Aquí restaremos un elemento de la sucesión del siguiente, para que la sucesión decrezca estrictamente ( \(a_{n+1} \geq 1_n\) ) esta diferencia tendrá que ser mayor que 0.

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n^2 +n}>0$$

Que será siempre mayor que 0 por ser una fracción de números positivos (\(n \in \mathbb{N}\) ). Por cierto, ahí tenemos la fórmula para la distancia de un elemento de la sucesión con el siguiente.

Criterio fracción.

Dividiendo un elemento por el siguiente, como decrece, esa fracción deberá ser mayor que 1. Veamos:

$$\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}= \frac{n+1}{n}>1$$

Criterio derivada.

Si consideramos una función \( \frac{1}{x}\) que toma los mismos valores que la sucesión \( \frac{1}{n}\) cuando \( x = n \), podemos derivarla y ver que el valor de ésta es siempre negativo, es decir, que el valor de la pendiente de la función siempre desciende.

$$\frac{1}{x}'= - \frac{1}{x^2}<0$$ Que es negativa para todos los valores.