$$ lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
* La función \(f\), tienen derivada en \(a\) si el límite anterior es igual por derecha e izquierda.
* Si \(f\) es derivable en \(a\), es continua en \(a\). El recíproco no es necesariamente cierto. Por ejemplo \(f(x) = |x|\) es continua pero no derivable en \(f(x)=0\).
Caracterizaciones
\(f\) es continua en \(c\):
$$lim_{x\rightarrow c^+} \: f(x)=f(c)=lim_{x\rightarrow c^-} \ f(x)$$
\(f\) derivable en \(c\):
$$lim_{x\rightarrow c^+} \: \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=lim_{x\rightarrow c^-} \: \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$
Reglas de derivación
$$(f \pm g)'(a) = f'(a) \pm g'(a)$$
$$(f \cdot g)'(a)= f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)$$
$$(\frac{f}{g})'(a)=\frac{f'(a) \cdot g(a) - f(a) \cdot g'(a)}{(g(a))^2}$$
$$(g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a)$$
Ejemplo de cálculo por la fórmula de definición:
$$f(x)=x^2$$
Su derivada sería el límite de:
$$lim_{h \rightarrow 0} \: \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Operando;
$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2hx+h^2}{h}=2x+h=2x+0=2x$$
Derivada inversa
Siendo \(f\)
monótona y continua en un intervalo (inyectiva), si \(f\) es
derivable en el intervalo y \(f'(a) \neq 0\) entonces \(f^{-1}\) es
derivable en \(b=f(a)\), siendo:
$$ (f^{-1})'(b)= \frac{1}{f'(a)}$$
Caracterización
continua y monótona
- La continuidad se determina estudiando la misma función (polinómica...)
- La monotonía, si la derivada de \(f\) en el intervalo es \(\forall x > 0 \) o \( \forall x<0\) se garantiza la monotonía.
.................................--------·····ooooooo0008000ooooooo·····--------..................................
Derivada en un
intervalo
Teorema de
Weiertrass
Siendo \(f\) en el
intervalo K. Todo intervalo tiene máximo y mínimo.
$$f(a) \leq f(x)
\leq f(b) \: \forall x \in K$$
Si \(f\) en un
intervalo y derivable, tienen un máximo o mínimo en a, entonces;
\(f'(a)=0\).
Pero, tener en
cuenta que;
\(f(x) = |x|\) tiene
un mínimo en \(f(0)=0\) pero no existe derivada en ese punto.
Para \(f(x)=x^3 \:
\exists f'(x)=0\) pero esa tangente horizontal no es ni máximo ni
mínimo.
Todo máximo o
mínimo del intervalo K, pertenecen a:
$$A={x \in int(K)
\: | \: f'(x)=0}$$
$$B=fr(K)$$
$$C={x \in int(K) \: |
\: \nexists f'(x)}$$
Para determinar los
extremos de una función en un intervalo hay que estidudiar esos tres
conjuntos (derivada = 0, frontera o interior sin derivada).
Teorema de Rolle
Si \(f\) es continua
en \([a,b]\) y derivable n \((a,b)\) tal que \(f(a)=f(b)\) entonces
\(\exists \: c \: \in (a,b) | f'(c)=0\)
Teorema de Cauchy
Si \(f\) y \8g\)
continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\) entonces \(\exists
\: c \: \in (a,b) \) tal que:
$$[f(b)-f(a)] \cdot
g'(c) = [g(b) - g(a)]f'(c)$$
Hay varios
corolarios que se desprenden
- Si \(f'(x) = 0\) en \(\forall x\), entonces \(f\) es constante.
- Si \(f'(x) = g(x) \: \forall x\), entonces \(f-g\) es constante.
- Si \(f'(x) = >0 \forall x\), entonces \(f\) es creciente.
- Si \(f\) tiene derivada acotada en \((a,b)\) entonces es uniforme continua en \( (a,b)\).
Regla de l'Hopital
SupperBoonus:
Calculador de derivadas paso a paso.
http://www.derivative-calculator.net/
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