\( \exists \) máximo y mínimo en \( f \) continua en compacto (acotado y cerrado).
Para determinar estos puntos se ha de estudiar; puntos interiores al intervalo \( I \) con \( f' = 0\), la frontera de \( I \) y los puntos donde \( \nexists \: f'\).
Otros
Siendo \( f \) y \( g \) continuas en \( (a,b) \) y derivables en \( [a,b] \):
T. Rolle
Si \( f(a) = f(b)\), entonces \( \exists c \: \in (a,b) \: | \: f'(c)=0\)
\( \exists c \: \in (a,b) \: | \: f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
\( \exists c \: \in (a,b) \: | \: \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\)
Estudio de raíces de una función
Para el estudio de las raíces de una función tenemos que por el teorema de Rolle, si \( f(a)=f(b)=f(c)\) se anulará por lo menos en 2 puntos.
El número de soluciones para \( f(x) = 0 \) en \( (a,b)\) es menor o igual al número de ceros para \( f'\: +1\). Por ejemplo, para \( f' \neq 0\) como mucho tendrá una raíz, como se ve en la gráfica (puesto que esta solo corta las abscisas una vez). Ejemplos gráficos:
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