Toma de contacto con dos variables

Grosso modo, decimos que una función de una variable dibuja una linea y por lo tanto, una función de dos variables dibujará una superficie. Por ejemplo la función \(f(x,y)=x^3-3y^2+5xy+x-2y+5 \) nos dibuja la siguiente superficie.

 

También recordamos que la derivada de una función nos esta indicando la inclinación de una tangente para cada punto de esa función, es decir, nos da otra función que nos va a decir la inclinación de la función original para cada punto.
¿Qué pasa con la superficie? Pues por medio de las derivadas parciales, podemos considerar una de las variables como si fuera una constante y derivar la otra. Por ejemplo si derivamos respecto a \(x\), conseguiremos una superficie que nos dice como varia la inclinación desde la vertiente \(x\). Si hiciéramos la derivada parcial respecto a \(y\), nos daría la inclinación en esa otra dirección.  Imagínese una montaña, en un mismo punto puede tener inclinaciones en el eje \(x\) (digamos delante-atrás) y el eje \(y\) (digamos derecha - izquierda).
La derivada parcial resulta en: \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=3x^2+5y+1\) y dibujando la superficie:

 

Vamos a verificarlo en una variable (o dimensión si se desea). Si consideramos solo el "filete" para y=0, tendremos una función al uso y representaría la primera loncha de las superficies de la imagen anterior. Así, \(f(x,0)=x^3+x+5 \) y la derivada \(f(x)'=3x^2+1\) , que mostramos abajo.

 

Como pueden ver, si hiciéramos lo mismo para todos los valores de \(y\), tendríamos las superficies anteriores.  

Para los gráficos se ha utilizado Wxmaxima con los siguentes códigos.

/*superficie:*/

plot3d(x^3-3*y^2+5*x*y+x-2*y+5, [x,-5,5], [y,0,5])$

/*Superficie y su derivada en x*/

expr_1:x^3-3*y^2+5*x*y+x-2*y+5$
expr_2:3*x^2+5*y+1$
plot3d([expr_1,expr_2, [x,-5,5], [y,0,5]])$

/*Funcion y derivada para y=0*/

plot2d ([x^3+x+5, 3* x^2+1], [x, -5, 5])$