Apuntes de complejos II

Cálculo de la forma polar y trigonométrica de un número complejo.
Para un número complejo tal como \(z=a+ib\), en primer lugar se calcula el módulo de z. $$[z]=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ Después se ha de obtener el argumento de z. Para eso obtenemos la tangente \(tg\frac{Im}{Re}\) y obtenemos la que correspondiera al primer cuadrante. Será muy útil dibujar un plano cartesiano para representar el número. Hay que conocer la tabla de grados para seno, coseno y tangente, aquí chuleta memotécnica:

Imagen solo enlazada

Se utiliza la tangente que corresponde al primer cuadrante, cambiando el signo. Después se resta el valor del ángulo del cuadrante que corresponda (o, 90, 180, 270, 360) y obtenemos el valor del mismo. Sabiendo las correspondencias de los grados y valores de \(\pi\) damos los valores en radianes. Conociendo el módulo y el argumento se pueden obtener las formas trigonométricas y la polar de un número complejo.

Determinación de las raíces enésimas de un número complejo
Se calcula la forma polar y se aplica la siguiente fórmula: $$\sqrt[n]{z}= (\sqrt[n]{|z|})_{\frac{\alpha+2k\pi}{n}}$$ Donde \(k=0,1,2,...,n-1\).
Ejemplo:
 Calcular las raíces cúbicas de -1. Obtenemos el módulo de -1, que es igual a 1. Su argumento es \(\pi\), véase que se el número estaría en el cuadrante 2. De ese modo la forma polar de -1+i0 sería \(1_{\pi}\). Ahora aplicamos la fórmula anterior, obteniendo: $$k=0; 1_\frac{\pi}{3}$$ $$k=1;1_\pi$$ $$k=2;1_\frac{5\pi}{3}$$ Si se desea podemos pasar a la notación binómica de la siguiente forma (a través de la trigonométrica de hecho). $$1_\frac{\pi}{3}=1(cos\frac{\pi}{3}+i·sen\frac{\pi}{3})=cos60º+i·sen60º=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Véase que \(\frac{\pi}{3}=\frac{180º}{3}=60º\) $$1_\pi=1(cos\pi+i·sen\pi)=cos0º+i·sen0º=-1+i·0$$ Se indica cos0º porque se calculan los ángulos según el primer cuadrante, pero hay que mirar en que cuadrante estan realmente para utilizar el signo que corresponda. $$1_\frac{5\pi}{3}=cos\frac{5·180º}{3}+i·sen300º=cos60+i·cos60=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}} {2}$$ Se ha procedido igual que antes, calculando la correspondencia del grado y el valor fraccionario del número.