Teniendo un número complejo de la forma \(z=a+bi\): Suma: $$z+z' = (a+a') + i(b+b')$$ Producto: $$z·z' = (a·a' - b·b')+ i(a·b' + a'·b)$$ Recordamos que \(( \mathbb{C},+,·)\) es un cuerpo, existiendo el opuesto y el inverso para cualquier \(z \in \mathbb{C}\). El inverso es un número \(z\) tal que \(z·z^{-1}=(1,0)\) siendo \((1,0)\) el elemento nulo del producto. \(z^{-1}\) es: $$z^{-1}=(\frac{a}{a^{2}+b^{2}},\frac{-b}{a^{2}+b^{2}})$$
Formas de un número complejo
Forma binómica: $$z=a+bi$$ Siendo \(a\) la parte real, expresada también como \(\Re(z)\) o \(Re(z)\). La parte imaginaria \(b\) se expresa como \(\Im(z)\) o \(Im(z)\).
Forma trigonométrica: $$z=r(cos\alpha + i sen\alpha)$$ Vemos que \(a=r cos\alpha\) y que \(b=rsen\alpha\) La forma trigonométrica facilita la multiplicación de números complejos, sin demostrarlo señalamos: $$z·z'=r·r'((cos(\alpha + \alpha '))+i(sen(\alpha + \alpha ')))$$
Forma polar: $$z=r_{\alpha}$$ \(r\) sería el módulo y \(\alpha\) el argumento de \(z\) (ángulo).
Forma exponencial: $$e^{i\alpha}=cos\alpha + i·sen\alpha$$ Y vemos que aquí tenemos la famosa Identidad de Euler: $$e^{i\pi}=cos\pi+i·sen\pi=-1=e^{i\pi}+1=0$$ Que pone en relación a 5 de los más importantes números de las matemáticas (o abstracciones capaces aprehender la naturaleza si quieren ser más poéticos): \(\pi,\sqrt{-1},e\),0 y 1. Esta notación facilita los cálculos, por ejemplo con las siguientes reglas: $$-(re^{i\alpha})=re^{i(\alpha+\pi}$$ Se suma \(\pi\) al exponente porque se le da "media vuelta" al número. $$(re^{i\alpha})(r'e^{i\alpha'})=(rr')(e^{i(\alpha+\alpha'})$$ $$(re^{i\alpha})^{n}=r^{n}e^{in\alpha})$$
Por cierto, quizás sea la ecuación más tatuada.
Cálculo de potencias de i
$$i^{1}=i$$ $$i^{2}=-1$$ $$i^{3}=-i$$ $$i^{4}=1$$ $$i^{5}=i^{4}·i=i$$ $$i^{6}=...$$ Ejemplo de cálculo de \(i^{n}\): $$i^{27}=i^{4·6+3}=(i^{4})^{6}·i^{3}=1^{6}·i^{3}=1·-i=-1$$ O por ejemplo: $$i^{2664}=i^{666·4}=(i^{4})^{666}=1^{666}=1$$
Conjugado de z
El conjugado de \(z\) es \(\bar{z}=a-ib\), siendo alguna de sus propiedades: $$z+\bar{z}=2\Re{z}$$ $$z-\bar{z}=2i\Im{z}$$ $$z·\bar{z}=a^{2}+b^{2}$$ $$\bar{\bar{z}}=z$$ $$\bar{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}$$ $$...$$
Cuestiones geométricas
\(Z_{M}\) es el afijo del punto M en el plano cartesiano. Es decir, un punto del plano con un sistema de coordenadas ortogonal (ejes perpendiculares). Similarmente, \(z\) es también el afijo del vector \(\overrightarrow{V_{z}}\) del plano. \(|z|=r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) es el módulo de \(z\), siendo la distáncia euclidiana del punto M al origen de las coordenadas (la hipotenusa). El argumento de \(z\), que expresamos como \(arg(z)=\alpha\) sería el ángulo que forma el módulo respecto al eje x (o real), por expresarlo de una forma intuitiva. De esta forma sabremos que \(z\) es real si \(arg(z)=0\) y \(z\) es un imaginario puro si \(arg(z)=\frac{\pi}{2}[Mod 2\pi]\)
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