Otro ejercicio de álgebra

Otro ejercicio estudiantil de algebra abstracta, para autorepaso y clarificación de conceptos.

 Demuestre que \((\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, +,·)\) es una estructura de anillos. Además determine si \((\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, +,·)\), \((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +,·)\) y \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, +,·)\) son subanillos. 

Aquí repasamos lo que es la congruencia módulo y las clases de equivalencia. Podemos definir la relación módulo entre dos enteros así: $$a \equiv b \mod p \longleftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}, a - b = kp$$ Así que son dos números, para los que los restos de la división entera por el módulo coinciden. Ejemplo: \(260 \equiv 16 \mod 2 \), ya que 260 - 16 = 244 y 122·2 = 244 Respecto a las cases de equivalencia, veamos que tenemos una relación módulo 11 en el conjunto de enteros, en esa relación podremos definir 11 clases de equivalencia. Es como las horas del reloj, que todas las horas del año las definimos en 12 clases de equivalencias (o en 24 en los digitales), de forma que en horario de 24h, las 13:00h + 20h no son las 33:00h si no las 9:00h. Para nuestro caso y a modo de repaso. Mostramos las clases de equivalencias \((\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) y pondremos ejemplos de ellas en \(\mathbb{Z}\).

 $$(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z} = ([0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10])$$ $$[0] = (11,22,33,44,...)$$ $$[1] = (1,12,23,34,...)$$ $$[2] = (2,13,24,35,...)$$ $$[3] = (3,14,25,36,...)$$ $$[4] = (4,15,26,37,...)$$ $$[5] = (5,16,27,38,...)$$ $$[6] = (6,17,28,39,...)$$ $$[7] = (7,18,29,40,...)$$ $$[8] = (8,19,30,41,...)$$ $$[9] = (9,20,31,42,...)$$ $$[10] = (10,21,32,43,...)$$ Recuerden que [2] podría expresarse como [a], aunque 2 es un representante de esa clase de equivalencia igual que el 13 y el 35. Una vez refrescado esto, veámos si \((\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, +,·)\) es una estructura de anillos. 

En \(\mathbb{Z}\) las operaciones + y · son asociativas, por las tablas siguientes se observa claramente como 0 es el elemento neutro para +, tal como lo es el 1 para *. Presentamos la tabla \((\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, +)\) con letras para señalar la idea de lo abstracto de los elementos. Aunque seguidamente la presentamos como número por claridad. Las tablas se han construido con la ayuda de Excel y la función "residuo", para la tabla en html se ha utilizado esta herramienta en linea: aquí.

Tabla de Dayley para (Z/11Z, +)

+	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k
a	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k
b	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	a
c	c	d	e	f	g	h	i	j	k	a	b
d	d	e	f	g	h	i	j	k	a	b	c
e	e	f	g	h	i	j	k	a	b	c	d
f	f	g	h	i	j	k	a	b	c	d	e
g	g	h	i	j	k	a	b	c	d	e	f
h	h	i	j	k	a	b	c	d	e	f	g
i	i	j	k	a	b	c	d	e	f	g	h
j	j	k	a	b	c	d	e	f	g	h	i
k	k	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j

Aquí la misma tabla con números, más intuitiva.

Tabla de Dayley para (Z/11Z, +)

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	0
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	0	1
3	3	4	5	6	7	8	9	10	0	1	2
4	4	5	6	7	8	9	10	0	1	2	3
5	5	6	7	8	9	10	0	1	2	3	4
6	6	7	8	9	10	0	1	2	3	4	5
7	7	8	9	10	0	1	2	3	4	5	6
8	8	9	10	0	1	2	3	4	5	6	7
9	9	10	0	1	2	3	4	5	6	7	8
10	10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

La tabla para el producto en \(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) es la siguiente:

Tabla de Dayley para (Z/11Z, *)

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	2	4	6	8	10	1	3	5	7	9
3	0	3	6	9	1	4	7	10	2	5	8
4	0	4	8	1	5	9	2	6	10	3	7
5	0	5	10	4	9	3	8	2	7	1	6
6	0	6	1	7	2	8	3	9	4	10	5
7	0	7	3	10	6	2	9	5	1	8	4
8	0	8	5	2	10	7	4	1	9	6	3
9	0	9	7	5	3	1	10	8	6	4	2
10	0	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Tal como en \(\mathbb{Z}\) la operación * es distributiva respecto a +. a(b + c) = ab + ac. y la reciproca puesto que son operaciones conmutativas. Recordamos que para demostrar que H es subanillo del anillo G, se ha de demostrar que: $$H \subset G$$$$H \neq \varnothing$$$$a-b \in H$$$$ab \in H$$

 Viendo las tablas nos percataremos que a cualquier par de elementos de \(\mathbb{Z}\) les podemos asignar una clase de equivalencia en \(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) y hacerlos operar bajo + o * y a su resultado, evidentemente le podremos asignar otra clase de equivalencia de la tabla, todo respetando las reglas de las operaciones. Ejemplo:

•  6 + 13 = [6] + [2] = [8] 
•  6 + 13 = 19 = [8] 
•  6*13 = 78 = 11*7+1 = [1] 
• 6*13 = [6]*[2]= [1] 

 Por otro lado, \((\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, +,·)\) también sería un cuerpo ya que.

1. Las operaciones son asociativas y conmutativas. 
2. La operación * es distributiva respeto a +. 
3. Existen elementos neutros diferentes para * y + designados como 1 y 0. 
4. Para la operación + existe para todo a un simétrico -a. 
5. Y para la operación * existe para todo a un inverso a^{-1}. 

Esto puede comprobarse en las tablas.

 Segunda parte. 

 ¿Son \((\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, +,·)\), \((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +,·)\) y \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, +,·)\) subanillos de \((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +,·)\)?
 \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) ha de ser \(\subset \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) no vacío y cumplirse que para a y b \(\in\) \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) a - b \(\in\) \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\).

 Lo dejo pendiente.
 ¿Es \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\)? 
Tablas de \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\)

*	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

 Y clases de equivaelncia:
$$[0] = (3,6,9,12,15,...)$$ $$[1] = (1,4,7,10,13,16,...)$$ $$[2] = (2,5,8,11,14,...)$$