Ejercicio 11a de álgebra abstracta

Si \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,·)\) no es primo, entonces existen divisores de 0 en \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,·)\) y por lo tanto no es un cuerpo.

 -Ah! pues vale. Como mola, tú.
 -Pues me alegro que te mole porque has de demostrar que si n no es primo existen divisores de 0.
-Mecagüen...

 Empecemos repasando.
 Para un anillo (A,+,·)  \(a \in A , a\neq0\) es un divisor de 0 si \(\exists b \in A, b\neq0 \) de forma que \(ab = 0 \) Por otro lado un número primo es aquel que \(\frac{n}{p}=n \vee \frac{n}{p}=1\) por lo que p = n o 1.
 Si el módulo es un número primo (ñ) tendremos que \([a][b]\neq ñ\), excepto que \(([a]=0) \vee ([b]=0)\). Sin embargo si ñ no es primo \(\exists [a],[b], [a][b] = ñ\) siendo \(([a]\neq0) \vee ([b]\neq0)\).
Es decir, ninguna clase de equivalencia divide al módulo.

Ejemplos para  \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},\mathbb{Z}/7\mathbb{Z},\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\)

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Módulo 3

*	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

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Módulo 6 
En negro las casillas de divisores de 0.

*	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

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Módulo 7

*	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6
2	0	2	4	6	1	3	5
3	0	3	6	2	5	1	4
4	0	4	1	5	2	6	3
5	0	5	3	1	6	4	2
6	0	6	5	4	3	2	1

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Módulo 9 
En negro las celdas que indican un divisor de 0

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2	0	2	4	6	8	1	3	5	7
3	0	3	6	0	3	6	0	3	6
4	0	4	8	3	7	2	6	1	5
5	0	5	1	6	2	7	3	8	4
6	0	6	3	0	6	3	0	6	3
7	0	7	5	3	1	8	6	4	2
8	0	8	7	6	5	4	3	2	1