Ejercicio de estructuras algebraicas 4

Este es el ejercicio 6 de de la evalucación del fascículo "Estructuras algebricas" para docentes de secundaria del Ministerio de Educación de Perú. Y aquí exponemos quizás una solución  Este ejercicio en concreto resulta muy interesante ya que se han de refrescar las características de un grupo y de un anillo, así como la teoría de conjuntos para su resolución. Vamos, que es un ejercicio completo, como la natación.

 Si \( E \neq \varnothing \) , demuestre que \((\wp(E), \Delta,\cap )\) es un anillo conmutativo unitario. 

 Para que \((\wp(E), \Delta,\cap )\) sea un anillo ha de cumplirse:

•  Que \((\wp(E),\Delta)\) sea un grupo abeliano (conmutativo). 
•  Que la operación \(\cap\), que ha de ser cerrada en el conjunto, sea asociativa. 
•  Que la operación \(\Delta\) sea distributiva respecto a la operación \(\cap\). 

 A parte, para que el anillo sea conmutativo la operación \(\cap\) ha de ser conmutativa y para que el anillo sea unitario la operación \(\cap\) ha de tener un elemento neutro diferente al elemento neutro de la operación \(\Delta\).

 En primer lugar vamos a demostrar que \((\wp(E),\Delta)\) es un grupo abeliano. 

 La operación diferencia simétrica es cerrada en \( \wp(E) \) \((A\Delta B) = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)\) \(A,B \in \wp(E)\) entonces \((A\Delta B) \in \wp(E)\).
 Demostramos que la operación \(\Delta\) es asociativa.
 $$A\Delta (B \Delta C) $$$$= A \Delta ((B \cap \overline{C}) \cup (\overline{B} \cup C))$$$$= [\overline{A} \cap ((B \cap \overline{C}) \cup (\overline{B} \cap C)) ] \cup [ A \cap \overline{((B \cap \overline{C}) \cup (\overline{B} \cap C))}]$$$$ = (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup [A \cap ((\overline{B} \cup C) \cap (B \cup \overline{C})]$$$$ = (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup [A \cap ((\overline{B} \cap B) \cup (\overline{B} \cap \overline{C}) \cup (C \cap B) \cup (C \cap \overline{C}))]$$$$ = (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup (A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup ( A \cap C \cap B ) $$$$ = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C} ) \cup ( \overline{A} \cap \cap B \cap \overline{C}) \cup [(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup ( B \cap A \cap C)] $$$$ = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C} ) \cup ( \overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup { [(\overline{A} \cap A ) \cup ( \overline{A} \cap \overline{B}) \cup ((B \cap A ) \cup ( B \cap \overline{B})] \cap C } $$$$ = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C} ) \cup ( \overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup [(\overline{A} \cup B ) \cap (A \cup \overline{B} )] \cap C] $$$$ = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C} ) \cup ( \overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup [\overline{(A \cap \overline{B} ) \cup (\overline{A} \cap B) } \cap C ]$$$$ = [(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B ) ]\Delta C $$$$= ( A \Delta B ) \Delta C $$
 A continuación veamos que la operación \( \Delta \) en el conjunto \( (P(E),\Delta ) \) tiene elemento neutro e de forma que \( A \Delta e = A \).
Veamos que el elemento neutro de la operación \( \Delta \) es \( \varnothing \).
Veamos que para cualquier A tenemos lo siguiente:
 $$ A \Delta \varnothing = (A \cap \overline{\varnothing}) \cup (\overline{A} \cap \varnothing )$$$$ (A \cap U) \cup (\overline{A} \cap \varnothing ) $$$$ A \cup \varnothing = A $$
 Ahora vamos a ver como el mismo elemento A es su inverso. El inverso \( A^{-1} \) de un elemento A es tal que \( A \Delta A^{-1} = A^{-1} \Delta A = A \). El elemento inverso \( A^{-1} \) de un elemento A cualquiera para la operación \( \Delta \) en \( \wp(E) \) es el mismo A. Veámoslo:
 $$ A \Delta A = (A \cap \overline{A}) \cup (\overline{A} \cap A ) = \varnothing $$ Como final, claramente la operación es conmutativa: $$ A \Delta B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = B \Delta A $$
 Con todo lo anterior demostramos que \( (\wp(E), \Delta) \) es un grupo conmutativo o abeliano. 
q.e.d.

 Ahora vamos a ver que \( (\wp(E), \Delta, \cap \) es un anillo conmutativo y unitario. 

 Para ello hemos de mostrar las restantes características reverenciadas al principio. Es directo ver que la operación conjunción \( \cap \) es asociativa dadas sus características, de forma que \( A \cap (B \cap C) = (A \cap B ) \cap C \).
Ahora hemos de mostrar que la operación \(\cap \) es distributiva en relación a \( \Delta \). Veámoslo:
 $$ A \cap ( B \Delta c)$$ $$= A \cap [(B \cap \overline{C}) \cup (\overline{B} \cap C )]$$ $$= ( A \cap ( B \cap \overline{C})) \cup ( A \cap (\overline{B}\cap C))$$ $$= [(A \cap B ) \cap (\overline{A} \cup \overline{C})] \cup [(\overline{A} \cup \overline{B}) \cap (A \cap C)]$$$$= [(A \cap B ) \cap (\overline{A \cap C})] \cup [(\overline{A \cap B}) \cap (A \cap C)]$$$$= ( A \cap B ) \Delta ( A \cap C )$$

También, el elemento unitario de la operación \( \cap \), que es diferente del de la operación \( \Delta \) es el elemento U (Universo) de forma que \( \overline{U}=\varnothing \) y \( \overline{\varnothing} = U \). Así, cualquiera que sea A en \(\wp(E)\):
$$A \cap U = A$$
 Y vemos que \(U \neq \varnothing \).
  Por último la operación \cap es claramente conmutativa, \( A \cap B = B \cap A \).
 Con todo lo anterior se demuestra que \((\wp(E), \Delta,\cap )\) es un anillo conmutativo unitario.

q.e.d.