Ejercicio de estructuras algebraicas 2

Quizás una solución al Ejercicio 2 sobre estructuras algebraicas de un dosier para profesores de secundaría de Perú.

 En \((\mathbb{Q*}\), *), se define la operación * como: \(a*b=a+\frac{1}{b}\).
 El conjunto \(\mathbb{Q}\) es el de los números racionales (\(\frac{a}{b}\) siendo a y b números enteros).

 ¿Es la operación * conmutativa y asociativa?

Veamos si es conmutativa.
\(a*b=a+\frac{1}{b}\) y \(b*a=b+\frac{1}{a}\), por lo que \(a*b \neq b*a\).
Poniendo un ejemplo: \(1*2=\frac{3}{2}\) y \(2*1=\frac{3}{1}\)

Consideremos si es asociativa.
$$(a*b)*c =(a+\frac{1}{b})+\frac{1}{c} =\frac{abc+b+c}{bc}$$
$$a*(b*c) =a*(b+\frac{1}{c}) = a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}} =\frac{qbc+a+c}{bc+1}$$
 Como vemos, \(a*(b*c) \neq (a*b)*c \).
La operación * no es ni comnutativa ni asociativa.
 q.e.d.

¿Tiene la operación * elemento neutro?

Como hemos demostrado, la operación * no es conmutativa, por lo tanto no existira un elemento e único tal que \(a*e=e*a=a\).
 q.e.d.