Ejercicios de estructuras algebraicas

Quizás una solución al Ejercicio 1, sobre estructuras algebraicas, de la autoevaluación de un dosier del Ministerio de Perú para docentes de secundaria.

En \((\mathbb{R}\), *), se define la operación * como: \(a*b=\frac{a+b}{2}\).

¿Es la operación * conmutativa?
Para que la operación sea conmutativa hemos de demostrar que a*b = b*a.
Puesto que la adición es conmutativa, a+b = b+a, tenemos que \(\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}\).
q.e.d.

 ¿Es la operación * asociativa?
Para que la operación sea asociativa hemos de demostrar que (a*b)*c = a*(b*c).
\((a*b)*c\) = \((\frac{a+b}{2})*c\)
= \(\frac{\frac{a+b}{2}+c}{2}\)
= \((\frac{a+b}{4})+\frac{c}{2}\).
Por otro lado:
\(a*(b*c)\) = \(a*(\frac{b+c}{2})\)
= \(\frac{a+\frac{b+c}{2}+c}{2}\)
= \(\frac{a}{2})+\frac{b+c}{4}\).
Vemos que \((\frac{a+b}{4})+\frac{c}{2}\) \(\neq\) \(\frac{a}{2})+\frac{b+c}{4}\), por lo tanto \((a*b)*c\) \(\neq\) \(a*(b*c)\) no siendo * una operación asociativa.
q.e.d.

 ¿Es \(*\) una operación reflexiva?
Expresado formalmente: \(\forall a \in \mathbb{R}|a*a=a\).
Vemos que \((a*a)=\frac{a+a}{2}=a\), demostrándose que * es reflexiva.
q.e.d.

Nota:
q.e.d. "Quot erat demonstrandum" (lo que se quería demostrar) es una forma arcaica de dar por terminada una demostración.