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Vemos que el valor absoluto \(|x-2|= 0\) para \(x = 2\). Y así:
Para \(x \geq 2 \Rightarrow \; x|x-2| = x(x-2)=x^2 -2x\)
Para \(x < 2 \Rightarrow \; x|x-2| = x -(x-2)=-x^2 +2x\)
Se trata de ponerle el signo a la operación, según el resultado del interior del valor absoluto dado el tramo.
Si derivamos para conocer los máximos:
\(x \geq 2 \; (x^2 -2x)'=2x-2 = 0 \) para x= -1. Ahí podría existir un máximo o mínimo (no siempre) pero cuidado porque estamos en \(x \geq 2\), así que nada.
\(x < 2 \; (-x^2 +2x)'=-2x+2=0\), para x=1, que sí está en el rango qeu estamos evaluando. Para saber si es máximo o mínimo estudiamos la segunda derivada. (-2x+2)'=-2, que al ser negativa ese punto se trata de un máximo.
Para hacer un estudio detallado de los extremos, tenemos que estudiar también los puntos no derivables y los extremos.
¿Como sabemos que un punto puede ser no derivable? Estudiaremos los puntos raritos (esto solo es para sobrevivir), en este caso es precisamente x=2. Evaluamos con la fórmula de la derivada.
\(x \geq 2\Rightarrow x^2-2x \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 2^-}=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}= \frac{f(-x^2+2x)-0}{x-2}\) Por l'Hôpital; \(\frac{-2x+2}{1}=-2\).
Por el otro lado:
\(x < 2\Rightarrow -x^2+2x \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 2^+}=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}= \frac{f(-x^2+2x)-0}{x-2}\) Por l'Hôpital; \(\frac{-2x+2}{1}=-2\).
Puesto que \(\lim _{x \rightarrow 2^-}\neq \lim _{x \rightarrow 2^+}\), no existe derivada en ese punto y hay que tener el cuenta el valor como posible máximo o mínimo. Siendo \(f(0)=0\).
Por último, evaluaremos los extremos del intervalo dado. \(f(-1)=-3\) y \(f(3)=3\), que resultan los extremos de la función.
Y aquí tenemos unas gráficas para seguir el ejercicio visualmente.
3 comentarios:
Algo que me pregunto sobre este tipo de problemas es si es necesario estudiar el límite por ambos lados de los puntos (o el punto, en este caso x=2) donde la función hace punta, pues:
1 - Las funciones como esta, con valor absoluto, acaban en punta donde separamos el dominio en intervalos. En el caso del problema que pones, 2 es ese punto. Si por ejemplo fuera f(x) = |x - 1| sería en x = 1 donde se halla la punta. O si fuera f(x) = |x²-10| serían sqrt(10) y -sqrt(10) los picos o puntas. Espero estar explicándome :-)
2 - Sabemos que en la x donde una una función hace punta no es derivable, es decir no existe f'(x) Por lo tanto, es un punto crítico a considerar.
Es decir, no se me ocurre una función con valor absoluto que no tenga pico. Por lo tanto, inicialmente no pareciera necesario comprobar que es un pico, es decir, parece que podemos saltarnos el paso de comprobar el límite por la derecha y por la izquierda: no va a coincidir.
Creo que tienes razón (ahora estoy un poco oxidado con las mates), asumiendo que no se utiliza una función de valor absoluto definida a trozos y cosas raras (para hacer desaparecer precisamente el pico no derivable). Aunque la cuestión es que se ha de justificar de algún modo. Tu planteamiento me parece más elegante puesto que usa un resultado previo. Por otro lado supogo que depende del nivel, es decir, a un estudiante podría pedírsele que demostrara también ese resultado (que no se lo ha aprendido de memoria y está tratando de escurrir el bulto), cosa que terminaría haciéndolo todo más largo (aunque si lo hace merecería mayor reconocimiento puesto que demuestra una comprensión más amplia y profunda).
Sí, ahora mismo sólo se me ocurre una función definida a trozos para eliminar el pico.
Saludos!
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