2º Ejercicio resuelto de extremos de función con valores absolutos

Calcula los valores absolutos de f(x) = |x-1|+|x-2| en [0,4].

Resolveremos otro por que siempre me lío con lo del valor absoluto, y no es tan complicado.

En primer lugar le quitamos el valor absoluto a hostias  del siguiente modo:

\(|x-1|=0\) si x = 1, entonces:
\(x \geq 1 \Rightarrow |x-1|= (x-1) \)
\( x < 1 \Rightarrow |x-1|= -(x-1) \)

Por otro lado:

\(|x-2|=0\) si x = 2, entonces:
\(x \geq 2 \Rightarrow |x-2|= (x-2) \)
\( x < 2 \Rightarrow |x-2|= -(x-2) \)

De ese modo:
Si \(x< 1 \Rightarrow f(x)= -(x-1)-(x-2) = -2x +3 \)
Si \(1 \leq x < 2 \Rightarrow  f(x)= (x-1)+(-(x-2))= 1 \)
Si \(x \geq 2 \Rightarrow f(x)= (x-1)+(x-2) = 2x-3 \)

Derivando vemos que \(x<1\) es derivada < 0 y \(x>2\) es derivada >0. La función baja y sube. En el intervalo [1,2] es plana. Ver las derivadas es inmediato. Entonces el valor mínimo es [1,2] y el máximo es un extremo que para \(f(4) = 5\).

Representación de las funciones estudiadas y de su descomposición.