Funciones circulares

La función seno y coseno, dibuja unas plácidas ondas en el plano cartesiano. Si nos fijamos en las gráficas, están desplazadas \(\frac{\pi}{2}\) en el eje \(x\) una de la otra. Eso es un cuarto de circunferencia y exactamente es lo que dista una de la otra.

Lo que me hacía gracia hoy, es explorar esas funciones compuestas, al multiplicarlas, su rango se reduce a la mitad, a la vez que se dobla su "ciclo". veamos las gráficas.

Podemos obtener el rango máximo en el eje \(y\) de la función \(cos(x)sen(x)\) por medio de derivarla e igualarla a 0.

\(d/dx(cos(x) sin(x)) = cos(2 x) = 0\)

El resultado es \(x=\frac{\pi}{4}\), bueno y eso se repite periódicamente. De una forma más exacta el resultado sería \( \frac{\pi \cdot n}{2} - \frac{\pi}{4} \) siendo n un entero.

Bueno, y si le damos a nuestra función el valor en que su derivada vale 0 (que es cuando la curva de la función es horizontal), tenemos; \(cos(pi/4) sin(pi/4) = \frac{1}{2}\), lo dicho.

Esas picos corresponden a cuando las dos funciones se cruzan, cuando x= \frac{1}{\sqrt(2)}\). Y efectivamente la nueva función "hereda" todos los 0 de las anteriores (ya que \(x \cdot 0 = 0\).

Por ahora no tengo más tiempo, así que les dejo un ilustrativo applet sobre el tema:

http://www.analyzemath.com/unitcircle/unit_circle_applet.html