Alicia en el centro de la tierra

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" 'Down, down, down. Would the fall never come to an end! `I wonder how many miles I've fallen by this time?' she said aloud. `I must be getting somewhere near the centre of the earth. Let me see: that would be four thousand miles down , I think--' (...) 

Presently she began again. `I wonder if I shall fall right through the earth! How funny it'll seem to come out among the people that walk with their heads downward! The Antipathies, I think--' 

 Lewis Carroll hizo caer a Alicia por un agujero en el suelo, una aparente madriguera de conejo, y en su caída, que a la niña se le antojó larga y aburrida, le dio tiempo de pensar acerca de cuál sería la estación de llegada al terminar de caer. Como vemos en las citas extraídas del relato original, Alicia se pregunta si caerá atravesando la Tierra entera llegando a parar al país del lado opuesto en el que, lógicamente, caminan boca abajo. Martin Cohen, en su libro "El escarabajo de Wittgenstein", señala esta duda como un interesante experimento mental sobre el que dar vueltas por si se cae en alguna solución. Explica que Galileo defendía que la velocidad del objeto que cayera por un agujero semejante aumentaría todo el tiempo hasta alcanzar el centro de la Tierra. No obstante, dicho aumento en velocidad sería progresivamente menor según se acercara al centro terráqueo, donde llegaría a una aceleración de 0. Pero ello no significa que dejara de caer, sino que seguiría en su trayecto a la velocidad original que iría, por contra, decelerándose a medida que se alejara del centro, puesto que las fuerzas ahora imperantes trabajarían para frenarla, hasta llegar al máximo punto, el de la salida por el otro extremo en el que caería para atrás de nuevo. Parece entenderse, pues, que según Galileo, la pobre Alicia se vería atravesando incesantemente el túnel una y otra vez. "

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Así empezaba un magnífico artículo que leí hace tiempo: pueden leerlo aquí.  Un par de años después, he mejorado mi formación científica lo suficiente para aventurarme a analizar con los instrumentos de nuestro tiempo si nuestro genio italiano tenía razón.

En primer lugar vamos a simplificar el problema, para ello despreciaremos el rozamiento del aire, la rotación de la tierra y considerando que la tierra fuera una masa uniforme. Claramente la situación es irrealizable por cuestiones físicas, las presiones bajo la corteza son terribles y el núcleo de nuestro planta es de metal fundido, sin embargo, podemos imaginarnos un “qué pasaría si”. Así, ¿qué pasaría con Alicia si cayera por la madriguera de conejo que atraviesa la Tierra por su centro?  Para contestar la pregunta vamos a tener que presentar algunos principios previos, sin los cuales no podemos dar respuesta. Aquí les presento el sumario:

•  Conservación de la energía 
• Gravedad Newtoniana 
• Gravedad en el interior de una esfera maciza y uniforme 
• Cálculo integral 

 Conservación de la energía 

 Ustedes ya conocen aquello de que la energía si se crea ni se destruye, solo se transforma, ¿verdad? Pues se trata de eso. La energía mecánica de un objeto viene a ser la suma de su energía de movimiento (o cinética) y su energía potencial. Si cogemos una piedra del suelo y la elevamos a 2 metros, esta adquiera una energía potencial, en concreto su energía es su peso, por la “atracción” de la tierra por la altura. Que lo podemos denotar como \(gmh\). Si soltamos la piedra, justo cuando está a punto de tocar contra el suelo (y despreciando la resistencia del aire), toda esa energía potencial se ha transformado en energía cinética y por supuesto también existe una fórmula para indicarnos su valor. Es la mitad de su masa por el cuadrado de la velocidad: ( \frac{1}{2}mv^2 \). Así cuando la piedra de 1kg está a 2m de altura, su energía cinética es 0 y su energía potencial es \(gmh \)= 9’81*1*2 =---- ¿Cuál será su velocidad al tocar el suelo? Como toda la energía potencial ha pasado a ser cinética; nos queda que: $$\frac{1}{2} mv^2 = gmh \Rightarrow v = \sqrt{2gh}$$ En nuestro caso: \(v = \sqrt{2 \cdot 9’81 \cdot 2 } = 6,2 m/s\) (unos 22 Km/h)
 Fíjense que la masa del objeto (m) se anula. ¿Quiere decir eso que da igual lo que pese la piedra? ¿la velocidad solo depende de la altura? Parece que me debo haber equivocado en algo ¿verdad? No es de sentido común que esto suceda. Sin embargo, como ya mostró Galileo Galilei en su época (un crack el tío, ¿eh?), todos los cuerpos caen a idéntica velocidad en el vacío ya sea una bola de cañón o una pluma de cisne y esté efecto queda patente en la ecuación. Bien, ya han visto como una energía se transforma en otra y que podemos utilizarla para despejar valores, en este caso la velocidad.

 Gravedad Newtoniana 

 Supongo que también les sonará aquello de que la fuerza de atracción es proporcional al producto de las masas entre la inversa de su distancia al cuadrado. Pues la fórmula concreta es la siguiente: $$F_g = \frac{GMm}{r^2}$$ Donde G es la constante de gravitación universal. Ya que estamos, les diré de donde sale la g que utilizamos antes: según la segunda ley de Newton la fuerza sobre un objeto es igual a la masa por la aceleración. Si volvemos a la fórmula: $$ma = \frac{GMm}{r^2}$$ Siendo la M y r la masa y el radio de la tierra respectivamente. El valor de la masa del objeto (m) otra vez se anula. Quedando Y si la resolvemos numéricamente (a grosso modo), tenemos la famosa aceleración de la gravedad que es g. $$g= \frac{6’67 \cdot 10^{-11} \cdot 5’98 \cdot 10{24}Kg}{6370000m} = 9’829...$$ Ya que conocemos la gravedad de Newton vamos a dar un paso más:

 Gravedad en el interior de una esfera maciza y uniforme 

 Ya sabemos cual es la gravedad en la superficie de la tierra ( de cualquier plantea si sabemos su radio y su masa), pero pensando en la situación de Alicia, también queremos saber cual es la gravedad en el “interior” de un planeta. Para simplificar las cosas nuestra tierra será simplemente una esfera. Les presento directamente la fórmula para calcularlo: \(g_{interior-esfera} = \frac{GM}{R^3}r \), siendo \(R\) el radio del planeta, y \(r\) la distancia al centro del planeta del punto que deseamos saber el valor de g. Ahora ya sabemos como calcular la aceleración de la gravedad dentro de la tierra.

 Calculo integral 

Solo un comentario sobre esto, casi estamos, pronto estarán en condiciones de ver con sus propios ojos qué le pasaría a Alicia. ¿No merece un pequeño esfuerzo más desvelar tan extraños misterios? Pues estamos en el último paso. A medida que Alicia va cayendo cada vez hay menos tierra bajo sus pies para atraerla hacia abajo y resulta que el valor de la gravedad va cambiando. Si dibujáramos una gráfica respecto a la energía potencial utilizada y la profundidad, resultaría que toda el área bajo la cuerva sería el total de energía utilizada. El cálculo integral nos permite conocer el área de esa curva (aunque en este caso en particular el gráfico dibujaría una recta). Por cierto, la creación de este tipo de herramientas matemáticas se deben a Newton y a Leibnitz.
 Ahora ya estamos en condiciones de contestar cosas como, ¿a qué velocidad llegaría Alicia al centro de la Tierra? 
 La fuerza que actúa sobre Alicia es \(ma= \frac{GMm}{R^3}r \) ya que está cayendo en una esfera. La fuerza que actúa sobre ella depende de \(r\), que sería a la profundidad a la que se encuentra. Aplicando lo que sabemos de cálculo integral, integramos la fórmula respecto a la variable r, que es la que nos interesa. Además como nuestros valores están limitados, vamos a calcularlo desde que r es igual al diámetro de la Tierra (cuando Alicia está en la superficie) hasta cuando r vale 0 (Alicia en el centro de la Tierra). Vamos a realizar el cálculo. En primer lugar: Sabemos que \(g = frac{GM}{R^2} \Rightarrow gR^2 = GM\) 
Entonces
\(ma= \frac{GMm}{R^3}r \Rightarrow ma= \frac{gR^2m}{R^3}r \Rightarrow ma= \frac{gm}{R}r \) \(\int_{0}^{R} \frac{gm}{R}r dr \Rightarrow \frac{gm}{R}\int_{0}^{R} r dr = [\frac{mg}{R} \cdot \frac{R^2}{2} - \frac{mg}{R} \cdot \frac{0^2}{2}]=\frac{mgR}{2}\)

Ya tenemos como calcular la energía cinética "gastada" en la caída.

 ¡Alto! No se vallan, que ahora viene lo bueno. Después de esto, ya tenemos el valor de toda la fuerza que se aplica sobre Alicia en su caída.

¿Qué pasó con Alicia?

¿Recuerdan la piedra del principio y como conservada la energía mecánica? Pues lo mismo va a suceder con Alicia ahora (como pueden ver, las anteriores explicaciones no han sido meras divagaciones). Podemos aplicar la fórmula del principio y equiparar la energía cinética de la muchacha con toda la energía potencial invertida y determinamos si velocidad al pasar por el mismísimo centro de la Tierra. $$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{mgR}{2} \Rightarrow v = \sqrt{gR} \Rightarrow \sqrt{9’81 \cdot 6370000} = 7’9 km/s$$ Alicia va muy rápido. Sin embargo va más lenta que si cayera durante 6370 Km a una aceleración constante de 9’81 \(m/s^2 \).
 Aplicando una ecuación de movimiento lineal de la que no voy a comentar nada, tenemos que su velocidad partiendo del reposo cumpliría: \(v^2 = 2 \cdot a \cdot \Delta x \). Es decir, la velocidad al cuadrado sería igual al doble de la aclaración por el desplazamiento.
$$v= \sqrt{2 \cdot 9’81 \cdot 6370000} = 11’17 Km/s$$
¡Vean!: el doble que antes.

Bueno, ya estamos terminado. Cuando Alicia pasa por el centro de la Tierra la fuerza de atracción que actúa sobre ella es 0, pero, la verdad es que va a toda leche. Precisamente lleva toda la velocidad que necesita para llegar al borde del agujero en el otro lado de la Tierra, recuerden lo que hemos dicho de la conservación de energía.
En las antípodas, nuestro personaje quedará un instante parado, justo como cuando lanzamos una piedra al aire y se detiene antes de emprender la caída, en la que tendrá que agarrarse con fuerza a alguna sonrisa de gato o a la chaqueta del Sombrerero Loco si no quiere volver a realizar todo el recorrido.