Ejercicios fermatianos

Un ejercicio de teoría de números (matemáticas discretas) de la UNED. 

Demuestre que el cuadrado de cualquier entero es representable como \(3k\) ó \(3k+1\). 

Por el teorema o algoritmo de la división, sabemos que todo número puede representarse como \(3k, 3k+1\) ó \(3k+2\). Ahora vamos a mostrar los cuadrados de esos números. 

Recordemos que \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). $$(3k)^2=9k^2=3(3k^2)=3k´$$ $$(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1=3k´+1$$ $$(3k+2)^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1=3(3k^2+4k+1)+1=3k´+1$$ 

Veamos la otra parte del ejercicio. 
Demuestre que el cubo de cualquier entero es de la forma \(9k,9k+1\) ó \(9k+8\). 

 Vamos ha hacer algo parecido al caso anterior, en primer lugar pienso en alguna serie de números como los anteriores que elevados al cubo den la solución pedida. Supongo que en teoría se podrían utilizar diferentes series de números de partida (si la cosa cuadra, cuadrará para todos los números, ahí está la gracia de las demostraciones). Empezaré por lo primero que se me ha ocurrido y que resulta que ha funcionado, después lo probaremos de otra forma a ver si también chuta. Cualquier número entero puede presentarse como \(6k, 6k+1,6k+2,6k+3, 6k+4\) ó \(6k+5\). Nos ha de resultar que podamos poner los cubos de esos números en las formas que nos piden en el enunciado. Vamos pues a la faena. Recordemos también que \((a+b) ^3=(a+b)^2•(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\). 

Desarrollando.
$$(6k)^3= 36k^3=9(4k^3)=9k´$$ $$(6k+1)^3=(6k)^3+3(6k)^2•1+3(6k)•1^2+1^3=36k^3+108k^2+18k+1=9(4k^3+12k^2+2k)+1=9k´+1$$ $$(6k+2)^3=(6k)^3+3(6k)^2•2+3(6k)•2^2+2^3=36k^3+216k^2+72k+8=9(4k^3+24k^2+8k)+8=9k´+8$$ $$(6k+3)^3=(6k)^3+3(6k)^3•3+3(6k)•3^2+3^3=36k^3+324k^2+162k+27=9(4k^3+36k^2+18k+3)=9k´$$ $$(6k+4)^3=(6k)^3+3(6k)^3•4+3(6k)•4^2+4^3=36k^3+432k^2+288k+64=9(4k^3+48k^2+32k+7)+1=9k´+1$$ $$(6k+5)^3=(6k)^3+3(6k)^3•5+3(6k)•5^2+4^3=36k^3+540k^2+450k+125=9(4k^3+60k^2+50k+13)+8=9k´+8$$

 De este modo vemos que es cierto lo que postula el enunciado. Como decía antes, voy a probar si es posible hacerlo más simple corto, después de todo ha de funcionar con todo número ¿no? Ya es sabido que con \(3k, 3k+1\) ó \(3k+2\) podemos representar cualquier número. Hacemos lo mismo que antes: $$(3k)^3=9k^3=9k´$$ $$(3k+1)^3=(3k)^3+3(3k)^2•1+3(3k)•1^2+1^3=9k^3+27k^2+9k+1=9(k^3+3k^2+k)+1=9k´+1$$ $$(3k+2)^3=(3k)^3+3(3k)^2•2+3(3k)2^2+2^3=9k^3+54k^2+36k+8=9(k^3+6k^2+4k)+8=9k´+8$$ E igualmente hemos demostrado lo que se pedía (con bastante menos curro).