Galton y las distribuciones

¿La máquina del azar de Galton, refleja una distribución normal o binomial? Pese a lo limitado de mis conocimientos técnicos he dedicado un rato a intentar clarificarme en esta cuestión. Advierto que la aproximación es simplemente intuitiva, para mejores aclaraciones o comprobaciones consulten con su matemático, estadístico o gurú local.

Parece que Galton adaptó a sus estudios la “teoría del error” que era una técnica que permitía a los astrónomos discernir la localización verdadera de una estrella a partir de múltiples mediciones que daban, por ser inexactas, posiciones ligeramente diferentes. Ubicando todas las observaciones la mayoría se situaban en el centro de una curva; localización que se tomaba por correcta [1].

Concretamente, parece ser que el libro de sobre la teoría de las probabilidades de Adolfo Quetelet, le permitió conocer sobre la distribución de Gauss o normal [2] (Por cierto, Quetelet fue el inventor del IMC –Índice de Masa Corporal–)

Es conocida la máquina de Galton que representa la aparición de la curva normal a partir de sucesos azarosos. Aunque, realmente, podemos considerar que muestra una distribución binomial o de Bernoulli, en que se realizan N experimentos. La distribución binomial es una distribución discreta, es decir los sucesos están separados. En cambio, la distribución normal es una distribución continua que al representarla reune unas características concretas (una curva positiva continua, simétrica respecto a la media, de máximo en la media y con dos puntos de inflexión situados a los lados de esta). Muchos caracteres físicos, psicológicos o sociales encajan en ese tipo de distribución. Que se suele llamar de Gauss en honor del eminente estudioso [3].

Se suele decir que la máquina de Galton muestra una curva normal ¿es correcto? Bien, en virtud del teorema del límite central, si tenemos un gran numero de variables aleatorias independientes su función de distribución (su curva para entendernos) se asemejará a una curva normal.

Si se fijan en la función que describe la distribución de las bolas en la máquina de Galton no es la normal si no la binomial (fíjense en las funciones que aparecen en los enlaces).

Así que realmente podemos decir que Galton con su máquina muestra una distribución normal, pero hemos de saber que esto se logra a través de una demostración empírica del teorema del limite central con una distribución binomial.

“No conozco prácticamente nada tan apto para impresionar a la imaginación como el maravilloso orden cósmico expresado por la ley de la frecuencia del error. Esta ley ya habría sido personificada por los griegos de haberla conocido. Ésta reina modesta y serenamente en medio de la confusión más salvaje. Cuanto más grande sea la masa, mayor es la aparente anarquía, y más perfecta su influencia. Es la ley suprema de la sinrazón ". (Traducción peregrina)

Galton