Derivadas parciales, ejemplo práctico.

La ecuación \(f=\frac{xy}{x+y}\) representa la resistencia de dos resistencias x e y puestas en paralelo. Si una de las dos es fija (x) y la otra variable, por ejemplo una resistencia y un potenciómetro, ¿Cómo variará la resistencia?

$$F= \frac{\partial f}{\partial x}(\frac{xy}{x+y})=\frac{y^2}{(x+y)^2}$$

 

La primera gráfica es la función \(f\) que representa la relación entre x e y. La segunda es la función \(F\) que muestra la relación de x fija e y variable. \(F\) tiene distintos valores para diferentes x. En la segunda gráfica puede verse como la curvatura de la superficie es más pronunciada en la parte que se acerca al origen de coordenadas (el 0). La superficie dibujada por \(F\) no es mas que la tasa de cambio o curvatura de la anterior.

Efectivamente, si cortamos lonchas de la gráfica de \(f\) para valores fijos de x; 30, 100 y 500 se observa lo que decíamos (para valores pequeños una cuesta mayor al principio).

Y así, puede "verse" como se comportaría la resistencia total.