lunes, 31 de diciembre de 2012

Queridos reyes magos

Os ruego encarecidamente que no me traigáis nada.

En vuestro debut, allá al principio de nuestra era, primero pasasteis por el palacio de Herodes para seguir a llevarle regalos a un niño desplazado que había nacido en Belén. El rey de Judea, celoso y temeroso del futuro que le augurabais al niño, os pidió que volvierais a indicarle su paradero.

Pero retornasteis directamente a vuestro lejano oriente por advertencia divina y Herodes burlado, pasó a cuchillo a todos los menores de dos años en la desgraciada Belén de Judea (la matanza de los santos inocentes).

No reyes magos, no me traigáis nada. ¿Cuáles son ahora vuestros daños colaterales? ¿Me traeréis un balón Nike cosido en Pakistan por manos infantiles? ¿Juguetes producidos por hacinados obreros chinos? ¿Aparatos electrónicos que precisan de las minas de “tierras raras” de los violentos pseudopaises centroafricanos? ¿O un piso de los que “nunca bajan”? Pero decirme mágicos reyes que nos hacéis felices ¿a qué “Herodes” habéis visitado este año?

No quiero que me traigáis nada, ni siquiera deseo que vengáis, pero si vais a venir –se que la gente os es devota-, entonces  venid sin corona y sin magia. Compartamos la triste dignidad fraterna de ser conscientes del mundo en el que vivimos y entender que cosa somos. Entonces, quizás se me ocurra algo que pediros.

domingo, 30 de diciembre de 2012

La perfección no es lo que era

Elsie Scheel, fue declarada en 1912, la mujer del físico prácticamente perfecto. Medía 1,7018 m y pesaba 77,73 kg, con un índice de masa corporal de 26,83. Hoy en día a partir de un índice de masa corporal de 25 se considera sobrepeso.
Una sociedad en que las venus no tienen curvas, los genios siguen lineas de investigación empresariales, la mermelada no tiene azucar, la leche no tiene nata y la cerveza no tiene alcohol, obliga a los que tienen dos dedos de frente a forjarse su propia opinión de casi todo.  


viernes, 28 de diciembre de 2012

Mnemotecnia para el Binomio de Newton

Se abre el telón... tienen un examen de álgebra, o quieren verificar alguna condición de una cláusula de su hipoteca y de reprende les surge la duda... ¿Cómo se calculaba \((a+b)^{5}\)?
Es fácil que uno se olvide de como se hace a menos que le saque algún orden que pueda utilizar para codificar la fórmula general en su húmedo y mucilaginoso hipocampo. Pues para su gozo, regocijo y algarabía, aquí les dejo una ordenación que les puede ser útil. Bueno, seamos sinceros, esto es útil para mi, que no me acuerdo y tal necesite utilizarlo en no mucho y curiosamente la forma más fácil de no perder los apuntes es escribirlos en la bitácora (de hecho, esta es, quizás, la mejor utilidad que puede dársele). $$(a+b)^{3}$$ $$a^{0}+a^{1}+a^{2}+a^{3}$$ $$b^{3}+b^{2}+b^{1}+b^{0}$$ $$\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}$$ Recordamos como se calcula un "número" combinatorio y factorial: $$\binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}$$ $$n!=1·2·3·...·(n-1)·n$$ $$3!=1·2·3=6$$ Y si lo unimos todo tenemos: $$(a + b)^{3} =\binom{3}{0}a^{0}b^{3}+\binom{3}{1}a^{1}b^{2}+\binom{3}{2}a^{2}b^{1}+\binom{3}{3}a^{3}b^{0}$$ $$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$$ Cuando el binomio es negativo se alternan los signos - y + (-,+,-,+,...).Y efectivamente, \(\binom{3}{1}=\binom{3}{2}\) y el primero \(\binom{3}{0}\), lo suprimimos.

Gráfico de los chistes matemáticos


miércoles, 26 de diciembre de 2012

Reloj de números complejos

En Internet pueden encontrar muchos relojes con moivos matemáticos. A continuación les presento uno confeccionado utilizando los números complejos.

En cada cuadrante del círculo se representan los números complejos que corresponderían a las horas, de las cuatro formas que suelen expresarse, por orden: polar, exponencial, trigonométrica y binominal.



lunes, 24 de diciembre de 2012

Apuntes de complejos II

Cálculo de la forma polar y trigonométrica de un número complejo.
Para un número complejo tal como \(z=a+ib\), en primer lugar se calcula el módulo de z. $$[z]=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ Después se ha de obtener el argumento de z. Para eso obtenemos la tangente \(tg\frac{Im}{Re}\) y obtenemos la que correspondiera al primer cuadrante. Será muy útil dibujar un plano cartesiano para representar el número. Hay que conocer la tabla de grados para seno, coseno y tangente, aquí chuleta memotécnica:

Imagen solo enlazada

Se utiliza la tangente que corresponde al primer cuadrante, cambiando el signo. Después se resta el valor del ángulo del cuadrante que corresponda (o, 90, 180, 270, 360) y obtenemos el valor del mismo. Sabiendo las correspondencias de los grados y valores de \(\pi\) damos los valores en radianes. Conociendo el módulo y el argumento se pueden obtener las formas trigonométricas y la polar de un número complejo.

Determinación de las raíces enésimas de un número complejo
Se calcula la forma polar y se aplica la siguiente fórmula: $$\sqrt[n]{z}= (\sqrt[n]{|z|})_{\frac{\alpha+2k\pi}{n}}$$ Donde \(k=0,1,2,...,n-1\).
Ejemplo:
 Calcular las raíces cúbicas de -1. Obtenemos el módulo de -1, que es igual a 1. Su argumento es \(\pi\), véase que se el número estaría en el cuadrante 2. De ese modo la forma polar de -1+i0 sería \(1_{\pi}\). Ahora aplicamos la fórmula anterior, obteniendo: $$k=0; 1_\frac{\pi}{3}$$ $$k=1;1_\pi$$ $$k=2;1_\frac{5\pi}{3}$$ Si se desea podemos pasar a la notación binómica de la siguiente forma (a través de la trigonométrica de hecho). $$1_\frac{\pi}{3}=1(cos\frac{\pi}{3}+i·sen\frac{\pi}{3})=cos60º+i·sen60º=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Véase que \(\frac{\pi}{3}=\frac{180º}{3}=60º\) $$1_\pi=1(cos\pi+i·sen\pi)=cos0º+i·sen0º=-1+i·0$$ Se indica cos0º porque se calculan los ángulos según el primer cuadrante, pero hay que mirar en que cuadrante estan realmente para utilizar el signo que corresponda. $$1_\frac{5\pi}{3}=cos\frac{5·180º}{3}+i·sen300º=cos60+i·cos60=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}} {2}$$ Se ha procedido igual que antes, calculando la correspondencia del grado y el valor fraccionario del número.

domingo, 23 de diciembre de 2012

Apuntes sobre números complejos

Estos son unos apuntes rápidos sobre números complejos.
Teniendo un número complejo de la forma \(z=a+bi\): Suma: $$z+z' = (a+a') + i(b+b')$$ Producto: $$z·z' = (a·a' - b·b')+ i(a·b' + a'·b)$$ Recordamos que \(( \mathbb{C},+,·)\) es un cuerpo, existiendo el opuesto y el inverso para cualquier \(z \in \mathbb{C}\). El inverso es un número \(z\) tal que \(z·z^{-1}=(1,0)\) siendo \((1,0)\) el elemento nulo del producto. \(z^{-1}\) es: $$z^{-1}=(\frac{a}{a^{2}+b^{2}},\frac{-b}{a^{2}+b^{2}})$$

Formas de un número complejo
Forma binómica: $$z=a+bi$$ Siendo \(a\) la parte real, expresada también como \(\Re(z)\) o \(Re(z)\). La parte imaginaria \(b\) se expresa como \(\Im(z)\) o \(Im(z)\).
Forma trigonométrica: $$z=r(cos\alpha + i sen\alpha)$$ Vemos que \(a=r cos\alpha\) y que \(b=rsen\alpha\) La forma trigonométrica facilita la multiplicación de números complejos, sin demostrarlo señalamos: $$z·z'=r·r'((cos(\alpha + \alpha '))+i(sen(\alpha + \alpha ')))$$

Fórmula de Moivre, cuando \(|z|=1\) (r=1): $$z^{n}=(cos\alpha+i·sen\alpha)^{n}=cos·n·\alpha+i·sen·n·\alpha$$
Forma polar: $$z=r_{\alpha}$$ \(r\) sería el módulo y \(\alpha\) el argumento de \(z\) (ángulo).
Forma exponencial: $$e^{i\alpha}=cos\alpha + i·sen\alpha$$ Y vemos que aquí tenemos la famosa Identidad de Euler: $$e^{i\pi}=cos\pi+i·sen\pi=-1=e^{i\pi}+1=0$$ Que pone en relación a 5 de los más importantes números de las matemáticas (o abstracciones capaces aprehender la naturaleza si quieren ser más poéticos): \(\pi,\sqrt{-1},e\),0 y 1. Esta notación facilita los cálculos, por ejemplo con las siguientes reglas: $$-(re^{i\alpha})=re^{i(\alpha+\pi}$$ Se suma \(\pi\) al exponente porque se le da "media vuelta" al número. $$(re^{i\alpha})(r'e^{i\alpha'})=(rr')(e^{i(\alpha+\alpha'})$$ $$(re^{i\alpha})^{n}=r^{n}e^{in\alpha})$$
Por cierto, quizás sea la ecuación más tatuada.

Cálculo de potencias de i
 $$i^{1}=i$$ $$i^{2}=-1$$ $$i^{3}=-i$$ $$i^{4}=1$$ $$i^{5}=i^{4}·i=i$$ $$i^{6}=...$$ Ejemplo de cálculo de \(i^{n}\): $$i^{27}=i^{4·6+3}=(i^{4})^{6}·i^{3}=1^{6}·i^{3}=1·-i=-1$$ O por ejemplo: $$i^{2664}=i^{666·4}=(i^{4})^{666}=1^{666}=1$$

Conjugado de z
El conjugado de \(z\) es \(\bar{z}=a-ib\), siendo alguna de sus propiedades: $$z+\bar{z}=2\Re{z}$$ $$z-\bar{z}=2i\Im{z}$$ $$z·\bar{z}=a^{2}+b^{2}$$ $$\bar{\bar{z}}=z$$ $$\bar{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}$$ $$...$$

Cuestiones geométricas
\(Z_{M}\) es el afijo del punto M en el plano cartesiano. Es decir, un punto del plano con un sistema de coordenadas ortogonal (ejes perpendiculares). Similarmente, \(z\) es también el afijo del vector \(\overrightarrow{V_{z}}\) del plano. \(|z|=r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) es el módulo de \(z\), siendo la distáncia euclidiana del punto M al origen de las coordenadas (la hipotenusa). El argumento de \(z\), que expresamos como \(arg(z)=\alpha\) sería el ángulo que forma el módulo respecto al eje x (o real), por expresarlo de una forma intuitiva. De esta forma sabremos que \(z\) es real si \(arg(z)=0\) y \(z\) es un imaginario puro si \(arg(z)=\frac{\pi}{2}[Mod 2\pi]\)

miércoles, 19 de diciembre de 2012

La interacción es la clave

Si en un grupo dice usted que tanto escribe el lápiz como el papel, es posible que la mayoría esbocen una sonrisa forzada y arqueen ligeramente las cejas buscando miradas cómplices (para asegurarse de cómo han de reaccionar).

Pero, sí, lo que vemos en nuestro mundo son resultado de interacciones entre "cosas" (incluso la visión o el pensamiento mismo).  Y ahora, puede continuar afirmando: "Y les diré más: ¡ incluso las  bicicletas con ruedas cuadradas podrían funcionar perfectamente en el medio adecuado!".


Aunque si quiere un buen consejo, a no ser que esté seguro de su público, limítese a decir obviedades y a escuchar con una sonrisa ambigua como se habla de las miserias ajenas.  La comunicación interpersonal, en determinados contextos sociales o laborales, es básicamente acicalado social (o grooming). Establecemos lazos con el lenguaje, hacemos cumplidos y mostramos interés en el discurso del otro, y esencialmente es lo mismo que hacen otros primates al acicalarse (nosotros conversamos sin decir nada y ellos se asean sin estar sucios).  Así que intentar decir "algo", podría serle contraproducente, por muy extraño que le parezca (incluso más que las bicicletas de ruedas cuadradas).


sábado, 15 de diciembre de 2012

Codificador en LaTeX de fracciones continuas

Una fracción no reducible, puede expresarse también como una fracción continua.  He confeccionado, a modo de juego, una hoja excel que calcula y escribe en código LaTeX la fracción continua de una fracción irreductible. Por ejemplo:   $$\frac{8}{3}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$$
$$\frac{1229}{52}=23+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}}}}} $$
Escribe el código en dos versiones, la anterior para quien tenga buena vista y esta otra:
 $$\cfrac{217}{52}=4+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{2}}}}$$
Pueden descargarlo aquí

viernes, 14 de diciembre de 2012

Lo milenario

Claude Lévi-Strauss, antropólogo de referencia, decía que los alimentos se comen de tres formas, cocidos, crudos o podridos. Sin duda, si debiera ofrecer una comida representativa de la humanidad a unos visitantes interplanetarios me decantaría por milenarios, y en ocasiones sagrados, alimentos podridos.


El Queso de Cabrales es sencillo y extraordinario como el amor verdadero. Ácido y embriagador, su profundo aroma monopoliza el sentido del que lo prueba. Es franco y rotundo. Con el Cabrales tal como con el amor cierto no valen las medias tintas.


Decimales

El número d, que pertenece al conjunto \(\mathbb{Q}\) de números racionales, es decimal finito, que denotamos como \(d \in \mathbb{D}\), sí y solo sí \(d·10^{n} \in \mathbb{Z}\) y \(n \in \mathbb{N}\). Es decir, si podemos hacer de d un número entero al multiplicarlo por 10 elevado a alguna potencia (10, 100, 1000, ...). 

 Ejemplo: $$\frac{783}{20}=39'15$$ $$39'15·10^{2}=3915 \in \mathbb{Z}$$ Sin embargo, no existe ninguna potencia de 10 que consiga construir un entero con el número \(\frac{1}{3}\) al darnos un decimal periódico. $$\frac{1}{3}=0'33333333...$$
Entonces, y ya que estamos, ¿es \(\frac{1}{3}\) un número irracional? Pues no, ya que es un racional periódico en el que siempre "sobra" 3. Los números irracionales son los que ofrecen infinitos decimales no periódicos, como por ejemplo la relación del lado del cuadrado con su diagonal o el radio con su circunferencia.

$$\sqrt{2}=1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807$$$$3176679737990732478462107038850387534327641572735013846$$$$2309122970249248360558507372126441214970999358314132226...$$
 $$\pi =3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923$$$$078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505$$$$822317253594081284811...$$

jueves, 13 de diciembre de 2012

Carreras espaciales

En el planeta M1, del sistema Z, dos omnionautas se propusieron hacer una carrera hasta el planeta M4, con sus naves propulsadas por tracción gravitacional. El primero, el Sr. Dos eligió la lanzadora “Recta”, que enfocaba directamente al planeta M4. Sorprendentemente, el segundo omnionauta, Don Uno, eligió la lanzadera “Braquistócrona”, que dibujaba una trayectoria curva hasta el planeta M4.

Cuando el Sr. Dos llegó al planeta M4 (seguro de su victoria), Don Uno hacía días que lo esperaba.


 

De vuelta, el onmionauta vencedor, planteó otra carrera. Pero suspicazmente , el Sr. Dos se negó en redondo. A no ser, claro, que utilizaran el mismo tipo de nave. No estaba dispuesto a que le volvieran a tomar el pelo.

Don Uno le dijo al Sr. Dos que le parecía tan lento, que sería capaz de llegar al mismo tiempo que él al planeta M1, por mucha ventaja que le tomara. El Sr. Dos rió satisfecho. Esta vez no podía fallar. “El triunfo se le había subido a la cabeza” –pensó-.

Llamaron a la comandancia interplanetaria de plataformas de lanzamiento del sistema planetario Z para que prepararan una nave Tautócrona en el mismo planeta M4 que Don Uno la pilotara y otra en la luna del planeta M1, que tomaría su contrincante.

 Días después, los dos omnionautas despegaron sincronizadamente. Justo en el momento de aterrizar en el planeta M1, el Sr. Dos, seguro de su victoria contempló la pista de aterrizaje por la ventanilla de su nave, no saliendo de su asombro a ver como iba a tomar tierra al mismo tiempo que la Tautócrona de Don Uno.

domingo, 9 de diciembre de 2012

Capataces cósmicos

A parte de los patrones de moda y los patrones de empresa, existen otros, mucho más interesantes:

Pasen, vean y maravíllense.

miércoles, 5 de diciembre de 2012

Metrópolis, más revelaciones

Josafat, con nombre de varios personajes bíblicos, es hijo del dueño de Metrópolis que vive en la torre Babel. Despues de presenciar la explosión de una máquina y tener una visión de Moloch, se intercambia por un obrero. 
Hay una interesante escena en la que el místico protagonísta parece crucificado en un reloj, como un mártir moderno y clama: "¡Padre! ¡Padre! ¿cuándo terminaran estas diez horas?". Palabras muy parecidas a las registradas en Mateo 27:46 y Marcos 15:34: "Dios mío, Dios mío, ¿por qué me has desamparado?".  Especialmente si se dicen con los brazos en cruz y mirando al cielo con rostro angustiado y doloroso. Incluso, se ha intercambiado por el obrero que tenía que estar ahí, siendo él mismo el hijo del dueño de Metrópolis. Sin duda, curioso.

Metrópolis de Fritz Lang, interesante película. Actual, aunque tenga 85 años. 

Ah! Y recuerden que "entre el cerebro y las manos, ha de mediar el corazón". 


martes, 4 de diciembre de 2012

Hora de revelaciones

(Exaltado) Ustedes, ustedes conocen el San Antonio de Schongauer ¿Verdad? ¿Y Hora de Aventuras? Pues, pues (fuera de sí). Miren:

lunes, 3 de diciembre de 2012

Sobre el arte de adivinar el futuro

Prolix, "El Adivino", en Asterix (Imagen solo enlazada)

 Mientras conducía, iba escuchando RNE-1, concretamente un programa que hablaba de mitología griega, en plan relato. El locutor estaba explicando la historia de Edipo, abandonado por sus padres, criado lejos y que ante el aviso de los oráculos de que mataría a su padre y se casaría con su madre, huyó lejos y efectivamente se encontró con su destino. Por cierto, los verdaderos padres de Edipo, también revivieron un aviso de los oráculos que los impulsaron a encargar su muerte a un esclavo.

En la idea de adivinación a la griega (desde el punto de vista mitológico -señalo-), hay una cuestión filosófica muy interesante. Los inventores de las matemáticas y la filosofía occidental, los teóricos del átomo y de la esfericidad de la tierra, parece que tenían su propia idea de como adivinar el futuro. 

Volvamos a otra representación de un oráculo actual, el que aparece en la película Matrix Reloaded. En ésta, Neo va a consultar a El Oráculo, que es una típica ama de casa afroaméricana de carácter maternal. Justo cuando Neo está al lado de un jarrón, El Oráculo le dice, “No te preocupes por el jarrón”, Neo se gira y el jarrón cae al suelo, rompiéndose. Continúa diciéndole que se devanará los sesos pensando si igual hubiera roto el jarrón si ella no le hubiera dicho nada. 

Fíjense cómo los guionistas de Matrix logran reflejar el proceder de los oráculos. Tal vez estén pensando en el efecto Pigmalión o de profecía autocumplida. Los oráculos recuerdan más bien a una especie de profecía inducida. Así, realmente, un oráculo con un perfecto conocimiento de las relaciones de un sistema, con una pequeña acción podría provocar cambios importantes en el futuro, que surgen de la misma acción de profetizar. ¿Es el oráculo una pieza clave de un sistema dinámico? Parece que la idea mitológica de la adivinación tiene un trasfondo paradójico, autoreferente. 

Y si los padres de Edipo, o el propio Edipo años después, hubieran ignorado por completo las advertencias del oráculo ¿hubiera existido profecía que cumplir? También es revelador el final de la historia. Edipo, buscando la venganza del asesino del anterior rey (su padre), al tomar consciencia de la situación, no se suicida como era de esperar (por cierto, el oráculo ha profetizado que la ciudad vivirá en desgracia hasta que no se vengue la muerte del rey), toma unas agujas del ropaje de la reina, que se ha ahorcado de una viga de palacio, y se las hunde en los ojos, cegándose. Parece que se incapacite para seguir jugando al juego del oráculo, que tal vez sea un reflejo del juego de la vida humana. 

 Tom Bombadill y su esposa GoldBerry
(Imagen solo enlazada)

Como contrapunto de Edipo, podríamos utilizar a Tom Bombadill, personaje de J.R.R. Tolkien (creador de toda una mitología moderna) sobre quien la magia no surtía efecto, ni siquiera se volvía invisible al ponerse el Anillo Único, que devolvía riendo. ¿Podría el oráculo adivinar el futuro de Tom? Lo dudo mucho. ¿Por qué? Les dejo la pregunta a ustedes a modo de material para la reflexión. Los humanos nos creemos dueños de nuestro destino o de lo contrario que éste es impredecible. Tal vez reflexionar en el trasfondo de unos cuentos antiguos nos acerque más a la realidad del ser humano y de la sociedad.