Análisis matemático para el Dungeon Master

Si usted apreciado Master, desea confeccionar tablas de propiedades que cambian de forma no lineal, o distribuciones de probabilidades concretas, puede utilizar algunas funciones de la siguiente forma. Necesitará nociones de cálculo.

Por ejemplo. 

A lo largo del tiempo un personaje se va fatigando y está puede no ser lineal. No sientes la misma fatiga al principio que al final de la tarea. Podemos decir que la fatica sigue una función de tipo exponencial, por ejemplo: 

En el eje de las x (abscisas), tendríamos el tiempo, y en eje de las y (ordenadas), la fatiga.

Aquí es donde entra el cálculo. Queremos una área bajo la curva con un valor concreto, que después dividiremos en las secciones que deseemos. Para esta elección tenemos que fijarnos en el perfil de la función, en su comportamiento. Aquí vamos a utilizar la función \(x^2\) con un área bajo ella de 100.

La hemos conseguido resolviendo la integral definida:

$$\int_{0}^{b}x^2dx=\frac{x^3}{3}|_{0}^{b}=\frac{b^3}{3}$$

Ahora despejamos b, y ya tenemos nuestra área.

$$\frac{b^3}{3}=100 \rightarrow b=\sqrt[3]{300}\approx 6,695$$

Si loncheamos el intervalo de 0 a 6,695 en 10 secciones de 0,6695. Podemos utilizar la fórmula que hemos obtenido en la integral \(\frac{x^3}{3}\) para calcular el grado de fatiga del jugador en función del tiempo.

Recordando que la fatiga del 100% será en el valor de x=6,695.Obtenemos la siguiente tabla de fatiga, que corresponde exactamente a la gráfica anterior.

Turno	x	% fatiga
0	0	0
1	0,6695	0,1
2	1,339	0,8
3	2,0085	2,7
4	2,678	6,4
5	3,3475	12,5
6	4,017	21,6
7	4,6865	34,3
8	5,356	51,2
9	6,0255	72,9
10	6,695	100

Y ahora solo queda encontrar las funciones que se ajusten a lo que queramos simular (periódicas, con valores negativos...) todo un universo de posibilidades. 

Por supuesto, se podría relacionar \(f(x)=x^2\) directamente, y obteníamos unos resultados parecidos calculando la función de 0 a 10 (pero no iguales). Nuestra función, que es la integral de esta es: \( \frac{x^3}{3}\) y contabiliza el área, no simplemente la correspondencia entre una variable y otra. Esto puede ser interesante si consideramos ese área como alguna cualidad (en este caso energía/fatiga) y como está se va agotando con el paso del tiempo como si de una "barra" se tratara.