Integrales de funciones trigonométricas

Función circular en denominador.

Cambio de variable:
\( tg(\frac{x}{2}=t \)

Obtenemos:

• \( sen(x)=\frac{2t}{1+t^2} \)
• \( cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2} \)
• \( dx=\frac{2}{1+t^2} \)

Integral del tipo:

$$ \int sen(ax)dx $$ (sea sen o cos).

Hacemos:
$$ \frac{1}{a}\int a \cdot sen(ax)dx $$
Y la resolución es inmediata.
Nota.
Recordar la solución general de las integrales de la forma:
\( \int cos(x) \cdot sen^n(x)dx=\frac{sen^{n+1}}{n+1} \)

Integral del tipo:

$$ \int sen^n dx \: o \: \int cos^n dx $$

n par:
\(sen^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2}\)
\(cos^2(x) = \frac{1+cos(2x)}{2}\)

n impar:
\( sen^n(x)=sen(x)sen^{n-1}(x) \)
\( cos^n(x)=cos(x)cos^{n-1}(x) \)

Y se considera que \(sen^2(x)+cos^2(x)01\) así:
\( sen^2(x)=1-cos^2(x) \)
\( cos^2(x)=1-sen^2(x) \)

Integrales del tipo:

$$ \int sen(ax)sen(bx)dx $$
$$ \int cos(ax)cos(bx)dx $$
$$ \int sen(ax)cos(bx)dx $$

Se aplican las fórmulas trigonométricas:

• \(sen(x)sen(y)= \frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y)) \)
• \(cos(x)cos(y)=\frac{1}{2}(cos(x-y)+cos(x+y)) \)
• \(sen(x)cos(y)= \frac{1}{2}(sen(x-y)+sen(x+y)) \)

Formulita para integrales

Integración de funciones racionales

Teniendo \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) si \(P(x) \geq > Q(x)\) se hace división y obtenemos \(R(x) +\frac{P(x)’}{Q(x)}\) con \(P(x)’ < Q(x)\)

En la descomposición tener en cuenta: 

denominadores del tipo \(\frac{p}{x^2 +a}\) generan numeradores tipo \(\frac{Ax+B}{x^2 +a}\)  

Si el denominador es del tipo \((x+a)^2\), genera dos fracciones tipo:  \(\frac{p}{(x +a)}+ \frac{p}{(x +a)^2}\).  

Una fórmula a recordar:

$$\int \frac{1}{(x^2+1)^n}=\frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}} $$

Otro ejemplo.

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx$$ Es fácil de calcular puesto que la derivada de \(arctg(x)\) (arcotangente) es \frac{1}{1+x^2}, por lo tanto la primitiva de la integral y ya está (es fácil de calcular si te sabes la fórmula de memoria, claro).

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx= arctg(x)$$

Pero y si cambiamos un signo en el denominador.

$$\int \frac{1}{1-x^2} dx$$ 

Ya no esta tan claro. Veamos como solventarlo. 

1). Descomponemos la fracción.

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$$

Despejando (igualamos los coeficientes de cada potencia de lado y lado de la igualdad y solucionamos el sistema).

Obtenemos \(A= 1/2\) y \(B=-1/2\).

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}$$

2). Reescribimos la integral:

$$ \frac{1}{2} \int  \frac{1}{x-1}-\frac{1}{2} \int  \frac{1}{x+1}$$

3). Solucionamos:

$$\frac{1}{2} ln(x-1) -\frac{1}{2}ln(x+1)$$

3). Arreglamos los logaritmos a partir de sus propiedades:

Y dado que \(x \cdot ln(p)=ln(p^x)\)

$$ln(\sqrt{x-1}) -ln(\sqrt{x+1})$$

Y considerando otra propiedad de los logaritmos como es \(ln(x)-ln(p)=ln(\frac{x}{p})\), resulta.

$$ \int \frac{1}{1+x^2} dx = ln(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}})$$

Ya ven ustedes lo que puede complicar la cosa un simple signo.

Más allá de la censura en la España de los años 50

Hace unos días encontré en un mercadillo unos libros curiosos. Se trataba de un par de tomos de una especie de enciclopedia juvenil, profusamente ilustrada. La obra completa fue editada por Daimon en 1957 y los títulos eran:

• 25.000 años de matemáticas
• 25.000 siglos de historia de la tierra
• 25.000 siglos de historia del mar
• 25.000 años de historia subterránea
• 25.000 años de mecánica
• 25.000 años de medicina

Existe la versión inglesa de 1954, con 16 tomos que se titulaban “The Wonderful World of ...” en vez de los “25.000 siglos/años”.

Los anteriores corresponderían a (ver este post):

• Hogben, Lancelot, The Wonderful World of Mathematics
• Fisher, James, The Wonderful World: The Adventure of the Earth We Live On
• Fisher, James, The Wonderful World of the Sea
• Jessup, Ronald, The Wonderful World of Archaeology
• Jackson, David, The Wonderful World of Engineering
• Calder, Ritchie, The Wonderful World of Medicine

Los autores de los libros eran individuos relevantes, entre ellos figuraba, por ejemplo, un premio nobel y el inventor de una de las primeras y más utilizadas pruebas de embarazo (la famosa prueba de la rana). En la contraportada en la versión española, ni más ni menos que Beltran Russell decía: “No me cansaré de recomendar esta obra maestra de simplificación sin falsamiento”.

Esta frase, hace aun más vergonzosa la situación que expondré a continuación.

Sabido es que en aquella época las publicaciones pasaban por su filtro mutilador de la dictadura franquista. Lo que personalmente no me esperaba es que más que censurar, reescribieran los textos que se atribuían a su legitimo autor.

En la página 62 y 63 de "25.000 siglos de historia de la tierra" de de James Fisher, que fue un prolijo y relevante naturalista y divulgador británico, podía leerse algo que resultaba chocante que viniera de la mano del autor.

Texto español:

"Desde un principio hasta nuestros días la idea religiosa preside la vida social del hombre. Y a la más elemental noción de un Dios creador, presente en todo ser humano, se suma en los pueblos civilizados la de una religión y un culto. Nada queda ya de las primitivas prácticas paganas, que han cedido su puesto a la idea espiritualista y monoteísta. Entre las religiones actuales, el Cristianismo es la que domina u ámbito más amplio y la que comprende las razas más civilizadas del mundo. Hoy son cristianos todos los pueblos cultos, y entre los que siguen la predicación de Nuestro Señor Jesucristo, prevalece por su extensión, organización e influencia la iglesia Católica, cuya Sede de Roma es respetada por todos y cuyo prestigio ejerce poderosa influencia en los más lejanos y diversos países de la Tierra." 

Gracias a la magia de Internet me topé con un post sobre la versión inglesa de este mismo libro: “The Wonderful World: The Adventure of the Earth We Live On”: http://kevinh.blogspot.com/2006/06/wonderful-world.html

Escribí al autor del blog, solicitándole imágenes de las páginas de esas páginas en cuestión. Amablemente me las envió, y efectivamente el texto en ingles era:

Texto original ingles:

The most densely populated areas are in Europe, India, China, Japan, Java and Egypt; in the rest of the world only the neighbourhood of big towns is crowded. Nearly all races of mankind are increasing, some faster than others. If this goes on, in time all the food the land produces will not be enough.

A simple map of world religions can show no faith truly, some not at all. The Jewish faith, for instance, is held by 11 million people over the world; and many Christians live in the area of “others”.

La traducción sería (más o menos):

Las áreas más densamente pobladas se encuentran en Europa, India, China, Japón, Java y Egipto; en el resto del mundo sólo en las cercanías de las grandes ciudades hay una población importante. Casi todas las razas de la humanidad están en aumento, algunas más rápido que otras. Si esto sigue así, con el tiempo todo el alimento que produce la tierra no será suficiente.
Un simple mapa de las religiones del mundo puede no mostrar verdaderamente ninguna fe y otras nada en absoluto. La fe judía, por ejemplo, es profesada por 11 millones de personas en el mundo; y muchos cristianos viven en la zona de "otros".

 Así, no solo estamos ante un pasaje censurado más, sino que está reescrito completamente con ideas diametralmente opuestas a las originales. Ya no me extrañaría encontrarme algún pasaje del Origen de las especies en que Darwin empiece a maravillarse de la fe católica en el tono ese tan típico de los guionistas del NODO.

Textos en español:

Y en inglés: