Integrales de funciones trigonométricas

Función circular en denominador.

Cambio de variable:
$tg(\frac{x}{2}=t$

Obtenemos:

• $sen(x)=\frac{2t}{1+t^2}$
• $cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$
• $dx=\frac{2}{1+t^2}$

Integral del tipo:

$$\int sen(ax)dx$$ (sea sen o cos).

Hacemos:
$$\frac{1}{a}\int a \cdot sen(ax)dx$$
Y la resolución es inmediata.
Nota.
Recordar la solución general de las integrales de la forma:
$\int cos(x) \cdot sen^n(x)dx=\frac{sen^{n+1}}{n+1}$

Integral del tipo:

$$\int sen^n dx \: o \: \int cos^n dx$$

n par:
$sen^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2}$
$cos^2(x) = \frac{1+cos(2x)}{2}$

n impar:
$sen^n(x)=sen(x)sen^{n-1}(x)$
$cos^n(x)=cos(x)cos^{n-1}(x)$

Y se considera que $sen^2(x)+cos^2(x)01$ así:
$sen^2(x)=1-cos^2(x)$
$cos^2(x)=1-sen^2(x)$

Integrales del tipo:

$$\int sen(ax)sen(bx)dx$$
$$\int cos(ax)cos(bx)dx$$
$$\int sen(ax)cos(bx)dx$$

Se aplican las fórmulas trigonométricas:

• $sen(x)sen(y)= \frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y))$
• $cos(x)cos(y)=\frac{1}{2}(cos(x-y)+cos(x+y))$
• $sen(x)cos(y)= \frac{1}{2}(sen(x-y)+sen(x+y))$