miércoles, 9 de diciembre de 2015

Cálculo de la longitud de una curva

 
Si en un plano cartesiano trazamos la función \(f(x)=x\), tendremos una bonita diagonal (en negro en la imagen). Para x=1 su longitud es igual a \(\sqrt(2)\), resultado fácil de demostrar recurriendo al también famoso Teorema de Pitágoras. Pero, ¿cual es la longitud si \(f(x)=x^2\)?

 Por medio del cálculo infinitesimal podemos obtener la longitud de una curva desde los puntos \(a\) al \(b\) aplicando la fórmula (Aquí explicado): $$\int_{a}^{b} \sqrt{1+(f(x)')^2}dx$$ 

Donde \(f(x)'\) es la derivada de la función. Muy bien, pues calculemos. Hemos dicho que nuestra función es \(f(x)=x^2\), así \(f(x)'=2x\) y \int_{a}^{b} \sqrt{1+4x^2}dx. Resolveremos la integral de forma indefinida y despues ya la calcularemos en el intervalo deseado. Procedemos haciendo el cambio de variable \(x= \frac{1}{2}tg(t)\), siendo dx=\frac{1}{2}sec^2(x)dt. La integral queda como: $$\int \sqrt{1+tg(t)^2}\frac{1}{2}sec^2(x)dt$$ Puesto que \(1+tg(t)^2=sec(t)^2\) tenemos: $$\frac{1}{2} \int sec(t) \cdot sec(t)^2dt$$ Integramos por partes de la forma: \(u=sec(t) dv= sec(t) \cdot tg(t)\) \(dv=sec(t)^2 v= tg(t)\) Obtenemos $$\frac{1}{2}[sec(t) \cdot tg(t) - \int tg(t) \cdot sec(t) \cdot tg(t) dt]$$ Puesto que \(tg(t)^2=sec(t)^2 -1\), reescribimos como: $$\frac{1}{2}\int sec(t)^3dt =\frac{1}{2}[sec(t) \cdot tg(t) - \int sec(t)^3dt +\int sec(t) dt]$$ $$\int sec(t)^3dt =\frac{1}{2}[sec(t) \cdot tg(t) +\int sec(t) dt]$$ Y siendo \(\int sec(t)dt = ln(sec(t)+tg(t)+C\), la integral buscada es: $$\frac{1}{2} \int sec(t)^3dt =\frac{1}{4}[sec(t) \cdot tg(t) +ln(sec(t)+tg(t))]$$ 
Ahora tenemos que deshacer el cambio de variable Tenemos que \(2x=tg(t)\) que ya podemos substituir. $$\frac{1}{4}[sec(t) \cdot 2x +ln(sec(t)+2x)]$$ Igualmente, \(t=arctg(2x)\), así: $$\frac{1}{4}[sec(arctg(2x)) \cdot 2x +ln(sec(arctg(2x))+2x)]$$ ¿Y como se deslía \(sec(arctg(2x))\)? Pues recurriendo a un triángulo.

 
 Veamos: \(arctg(2x)= \theta\) representa un triángulo rectángulo en el que su tangente de \(\theta\) tiene el valor \(2x\) (función inversa). como \(tg(\theta)=\frac{cateto\;frontal}{cateto\;contiguo}\), tendremos el siguente triángulo. IMAGEN De ese triángulo como \(sec(\theta)=\frac{1}{cos(\theta)}=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{1}\) Tenemos que, \(arctg(2x)= \theta\) y \(sec(arctg(2x))=sec(\theta)=\sqrt{4x^2+1}\) La integral queda: $$\frac{1}{4}[\sqrt{4x^2+1} \cdot 2x +ln(\sqrt{4x^2+1}+2x)]$$ $$\frac{1}{2}[\sqrt{4x^2+1} \cdot x] +\frac{1}{4}[ln(\sqrt{4x^2+1}+2x)]$$ Ahora podemos calcular los límites 0 y 1. $$\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{ln(\sqrt{5}+2}{4} - 0$$ $$\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{ln(\sqrt{5}+2}{4} =1.4789...$$ Que es, lógicamente, ligeramente superior a \(\sqrt{2}=1.4142...\). Nótese que hemos conseguido la fórmula general para la longitud de \(x^2\) de \(0\) a \(p\), y es precisamente: $$\frac{1}{2}[\sqrt{4p^2+1} \cdot p] +\frac{1}{4}[ln(\sqrt{4p^2+1}+2p)]$$ Y podemos, por ejemplo, construir una función que nos indique la diferencia de longitud entre la función \(x\) y \(x^2\). $$\frac{1}{2}[\sqrt{4p^2+1} \cdot p] +\frac{1}{4}[ln(\sqrt{4p^2+1}+2p)]-\sqrt{2p^2}$$ puesto que la longitud de \(f(x)=x\) por pitágoras será \(\sqrt{2p^2}\) 
 
 O si lo prefieren, la proporción, dividiendo las dos funciones.

 
Gráficamente parece que la proporción de longitudes se mantiene constante (habría que verlo, puesto que mirar una gráfica no es demostración alguna. Podríamos derivando la expresión que tendría que darlos una constante. Es decir, indicando que la pendiente es fija - echando un ojo con el Wolframalpha, parece que el valor de la derivada tiende a un valor cercano a 0.7 [como señala la gráfica], pero no es una contante-).

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