domingo, 5 de julio de 2015

Ejemplos ejercicios espacios vectoriales


##Ejemplo 1.
 
Base \( (1,0,1) \) de \(\mathbb{R}^3\). Las ecuaciones paramétricas son:
\( (x,y,z)= \alpha (1,0,1)\)
\( \left\{\begin{matrix}
x= \alpha\\
y=0\\
z= \alpha
\end{matrix}\right.\)
Claramente la dimensión es 1. Así tendremos que obtener 2 ecuaciones implícitas o cartesianas.

Lo haremos por dos métodos.

 A) Por determinante.

Para que se cumpla:
\( \begin{bmatrix}
 1&x \\
 0& y\\
 1& z
\end{bmatrix} = rg(1) \)

es necesario que:
\(\begin{bmatrix}
 1&x \\
 0& y
\end{bmatrix} \rightarrow y=0 \) y
\(\begin{bmatrix}
 1&x \\
 1& z
\end{bmatrix} \rightarrow z-x=0 \)

Por lo que las ecuaciones implicitas son:
\(\left\{\begin{matrix}
y=0\\
z-x=0
\end{matrix}\right.\)

B) Hacer "0"'s, con las ecuaciones paramétricas.

\( \left\{\begin{matrix}
x= \alpha\\
y=0\\
z= \alpha
\end{matrix}\right.\) donde facilmente obtenemos el resutlado
anterior.

##Ejemplo 2.En  \(\mathbb{R}^3\) tenemos las ecuaciones implicitas:

\( \left\{\begin{matrix}
x-y+t=0\\
x+2z=0\\
\end{matrix}\right.\)

Podemos plantear las ecuaciones, segun los coeficientes de la incógnitas, de la forma:

\(\begin{bmatrix}
 1& -1 & 0 & 1\\
 1& 0 & 2 & 0
\end{bmatrix}\)

claramente los vectores son independientes (rg(2)) ¿por qué no es una base?.

- Nótese que no es base puesto que se trata de los coeficientes de las ecuaciones implícitas. Una base son aquellos vectores con los que podemos expresar cualquier vector de ese espacio. Como se verá despues, las bases son los coeficientes de los parámetros de las ecuaciones paramétricas. Es importante no confundirse.

Para obtener las ecuaciones implictas, que serán 2, establecemos \(z\) y \(t\) como parámetros.
\(z= \alpha\)
\( t= \beta\)

De ese modo:
\(\left\{\begin{matrix}
x-y= -\beta \rightarrow y=-2 \alpha +\beta\\
x= -2 \alpha
\end{matrix}\right.\)

Y tenemos:
\(\left\{\begin{matrix}
x= -2 \alpha\\
y= -2 \alpha + \beta\\
z= \alpha\\
t= \beta
\end{matrix}\right.\)

Así la base es: (-2,-2,1,0), (0,1,0,1).

Pero...

Supongamos que elegimos otros parámetros:

Establecemos \(x\) y \(y\) como parámetros: \(x= \alpha\) e \( y= \beta\).

De ese modo:
\(\left\{\begin{matrix}
t=- \alpha + \beta\\
2 z= -\alpha
\end{matrix}\right.\)

Y tenemos:
\(\left\{\begin{matrix}
x= \alpha\\
y= \beta\\
z= -\frac{1}{2}\alpha\\
t= - \alpha + \beta
\end{matrix}\right.\)

Así la base sería equivalente a : \((2,0,-1,-2), (0,1,0,1)\).

Vemos que el segundo vector es igual, pero el primero no. Sin embargo es equivalente puesto que podemos transformar un sistem en otro.
Veamos como el primer vector de la base del primer resultado se transforma en este otro:
\((2,0,-1,-2)= -1(-2,-2,1,0) -2(0,1,0,1)\) de ese modo mostramos que los dos resultados son equivalentes.

Prueba de independencia


Ejemplo
\(u=(2,1,-5)\)
\(v=(1,-4,2)\)
\(w=(1,2,-4)\)

Si calculamos el determinante, da 0. Por lo que alguna fila depende de otras (el rango es igual por filas que por columnas).
$$2ª-3ª \begin{bmatrix}
2 & 1 & -5\\
0 & -6 & 6\\
1 & 2 & -4
\end{bmatrix}$$
$$1ª- 2 \cdot 3ª \begin{bmatrix}
2 & 1 & -5\\
0 & -6 & 6\\
1 & 2 & -4
\end{bmatrix}$$
Así, \(2 \cdot (1ª- 2 \cdot 3ª )= 2ª - 3ª = 2 \cdot 1ª -3 \cdot 3ª - 2ª = 0\)

Es decir, si planteamos:

\((0,0,0)= \alpha (2,1,-5) + \beta (1,-4,2) + \delta (1,2,-4) \)

Tiene soluión para:

\(\alpha = 2\)
\(\beta = -1\)
\(\delta = -3\)
Y por lo tanto hay dependencia. Cada fila de la matriz es uno de los vectores.