miércoles, 21 de agosto de 2013

El más cruel sentimiento

Hoy, en una bar, a las seis y media de la mañana, un señor de los que tienen opinión sobre el Ulises y que pueden decir “oxímoron” sin que se le despeine el flequillo me ha pedido que le calcule las probabilidades de que este viernes le toque una rifa de 90 millones de euros. -En Internet están, ahí esta todo - le dije. Pero, no, se ve que quiere un cálculo de confianza. Una cuenta bien hecha. Para que se entere la parroquia de lo absurdo del juego. Que eso de ganar el Euromillon viene a ser como ir al Cielo de los Santos. Y quien sabe... tal vez.
Pero que si hechas cuentas, de las que no salen por Internet, tal vez sea muy humano esperar con disimulada fe en las mas absurdas rifas.

Bueno, empecemos.

 Hay que elegir 5 números de entre 50, en un determinado orden. ¿Cuántas formas hay de hacerlo? Puesto que no se puede repetir ninguno son combinaciones sin repetición.
 Que sería: $$\binom{50}{5}=\frac{50!}{5!(50-5)!)}=2118760$$
 También hay que elegir dos números más entre 11 que son las llamadas “estrellas”, para las cuales tendríamos que encontrar todas las formas de ordenar 11 elementos tomados de dos en dos, que son: $$\binom{11}{2}=\frac{11!}{2!(11-2)!)}=55$$ 
Siendo la probabilidad de acertar el pleno de \(2118760 x 55 = 116.531.800\).  Eso es una probabilidad entre 116.531.800.
Les pondré un ejemplo de lo enorme de la cifra. Si el premio estuviera fijado, y usted cada día de su vida echara una combinación ¿sabe cuando tendría que haber nacido para asegurarse el premio? Pues resulta que no habría nacido ni como humano, sería usted incluso previo a los Neardentales, debería ser un Homo Erectus halla hace más de 317.000 años. Realmente las cifras son propias de distancias astronómicas o de tiempos geológicos.

4 comentarios:

Amaya dijo...

Añadiré una reflexión sacada del libro "¿Existe la suerte?" de Taleb.
Dice el autor que tendemos a olvidar el cálculo de la "expectativa", que vendría a ser el resultado medio de nuestras ganancias en cualquier actividad que implique riesgo.

Veamos:
La probabilidad de acertar el pleno es de 1 entre 16.531.800, o lo que es lo mismo:

1/16531800

Dice Taleb que hay que multiplicar lo que se va a ganar con el premio por la probabilidad, p. ej.

1/16531800 x 90 millones de euros

Y eso nos da una expectativa de unos 5'4 euros de ganancia.

Puesto que cada boleto cuesta como mínimo 2 euros, si hubiese de probar suerte hasta acertar esas 16531800 veces, tendríamos que:

16531799/16531800 x -2 euros
= -1'999999 euros

Entonces:
5'4-1'9999= 3'4

La expectativa es que a la larga, jugando y jugando, haya ganado usted un total de 3'4 euros.

Pero la cosa se complica si tenemos en cuenta que en el euromillón hay otros 12 posibles premios con sus correspondientes combinaciones posibles:
5+1=> 2.118.760x11=23.306.360
5+0=> 2.118.760
4+2=> 230.300x55=12.666.500
4+1=> 230.300x11=2.533.300
4+0=> 230.300
3+2=> 19.600x55=1.078.000
2+2=> 1.225x55=67.375
3+1=> 19.600x11=215.600
3+0=> 19.600
1+2=> 50x55= 2.750
2+1=> 1.225x11= 13.475
2+0=> 1.225

En esas combinaciones es más probable llevarse algún bocado de dinero. Pero también es cierto que cuanto más fácil es el dinero, más caro es y por tanto, menos se gana en expectativa.

Me explico, pongamos la última combinación con más probabilidad de acierto, 2+0 (1 posibilidad entre 1225 de acertar). La semana pasada se llevaba 4 euros.

1/1225*4=0'003 euros de expectativa de ganancia.

Siguiendo con el premio más "fácil", podemos también decir incluso aquí la probabilidad de no ganar nada de nada es de 0'9999 (o sea, del 99%). Y esto es así para todos los premios.

En fin, que si había pensado en añadir a su expectativa total de ganancia lo recogido también con los otros premios menores, olvídese de hacer crecer mucho la cifra. El cálculo sería largo de realizar, pero no creo que llegue a una ganancia de expectativa ni de 4 euros, y eso contando que va usted a empezar a apostar en la Prehistoria, que sería el único modo en que participar en este tipo de sorteos salga, a la larga, rentable.

En una vida humana, casi seguro (sin calcularlo) que la expectativa total de ganancia... arrojaría pérdidas.

Amaya dijo...

Fe de erratas:

Me acabo de dar cuenta que al copiar el nº de combinaciones posibles de 5 cifras lo he hecho mal y he puesto una cifra muuuuucho menor. Me he dejado el primer 1.
Es decir, que no son 16 millones y pico, sino 116. Y esto empeora aún más las cosas :)

En ese caso la ganancia repartida entre todos los intentos es de unos 50 céntimos, que al restarle el gasto que le supone a uno apostar, queda en una expectativa final de:

0'5-1'9999= -1'4999

Es decir, que hasta los Neandertales salen finalmente perdiendo.

Toni dijo...

Una visión muy interesante y clarificadora, el enfocarlo desde la vertiente del rendimiento. Debería dedicarse usted a la divulgación en el peor de los casos.

Amaya dijo...

Lo del 0'5 lo calculé a ojo, realmente es 0'77. Luego la expectativa final es de -0'73. Pérdidas igualmente.

De todas formas tampoco es una gran pérdida. Si el objetivo es divertirse gastando dinero tontamente tampoco es una actividad mala, al menos se contribuye a mayor riqueza del Estado (que es el único que realmente gana).