lunes, 9 de febrero de 2015

Ejercicio resuelto de máximos y mínimos en función de valor absoluto

Estudie los máximos y mínimos (extremos) de \(x|x-2|\) en [-1,3]. 


-------

Vemos que el valor absoluto \(|x-2|= 0\) para \(x = 2\). Y así:

Para \(x \geq 2 \Rightarrow \; x|x-2| = x(x-2)=x^2 -2x\)
Para \(x < 2 \Rightarrow \; x|x-2| = x -(x-2)=-x^2 +2x\)

Se trata de ponerle el signo a la operación, según el resultado del interior del valor absoluto dado el tramo.

Si derivamos para conocer los máximos:

\(x \geq 2 \; (x^2 -2x)'=2x-2 = 0 \) para x= -1. Ahí podría existir un máximo o mínimo (no siempre) pero cuidado porque estamos en  \(x \geq 2\), así que nada.

\(x < 2 \; (-x^2 +2x)'=-2x+2=0\), para x=1, que sí está en el rango qeu estamos evaluando. Para saber si es máximo o mínimo estudiamos la segunda derivada. (-2x+2)'=-2, que al ser negativa ese punto se trata de un máximo.

Para hacer un estudio detallado de los extremos, tenemos que estudiar también los puntos no derivables y los extremos.

¿Como sabemos que un punto puede ser no derivable? Estudiaremos los puntos raritos (esto solo es para sobrevivir), en este caso es precisamente x=2. Evaluamos con la fórmula de la derivada.

\(x \geq 2\Rightarrow  x^2-2x \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 2^-}=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=  \frac{f(-x^2+2x)-0}{x-2}\) Por l'Hôpital; \(\frac{-2x+2}{1}=-2\).

Por el otro lado:
\(x < 2\Rightarrow -x^2+2x \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 2^+}=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=  \frac{f(-x^2+2x)-0}{x-2}\) Por l'Hôpital; \(\frac{-2x+2}{1}=-2\).

Puesto que \(\lim _{x \rightarrow 2^-}\neq \lim _{x \rightarrow 2^+}\), no existe derivada en ese punto y hay que tener el cuenta el valor como posible máximo o mínimo. Siendo \(f(0)=0\).

Por último, evaluaremos los extremos del intervalo dado. \(f(-1)=-3\) y \(f(3)=3\), que resultan los extremos de la función.

Y aquí tenemos unas gráficas para seguir el ejercicio visualmente.



No hay comentarios: