Igual que podemos eliminar raíces con:
$$a^2 - b^2= (a+b)(a-b)$$
Y solventamos cosas como:
$$\frac{\sqrt{2}-2}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2}=\frac{2+2^2}{3 \sqrt{2}+2}$$
Que suele utilizarse en el cálculo de límites para "arreglar" la fórmula.
Por cierto, entre usted y yo, en los libros de mates, se habla mucho de la formalidad (exactitud y concreción especifísima), pero después te saltan que para ciertos cálculos hay que tener una especie de "intuición". Que la solución a ciertos ejercicios "se sabe" y que hágame estos ejercicios chungos que no le he explicado como se resuelven (y rapidito).
Así que más le vale que se sepa un buen puñado de pasos intermedios, identidades matemáticas (Por ejemplo (\(\sqrt{x}=\frac{x}{\sqrt{x}}\))[1] y teoremas para poder ir por los ejercicios dando fantásticos saltos mortales.
Bueno, a lo que venía. Otra identidad muy práctica para eliminar raíces cúbicas es:
$$a^3 + b^3= (a-b)(a^2 + ab+b^2)$$
Por lo general estas identidades se utilizan cuando en el cálculo de un límite la expresión con la raíz está en un denominador y este se anula (se vuelve 0) siendo una indeterminación que queremos arreglar para poder calcular el límite. Al utilizar la identidad, en vez de dos elementos que se restan, aparecen los mismo pero que se suman y voila, el denominador ya no es 0.
$$\frac{3}{\sqrt[3]{8}-2}\cdot
\frac{( (\sqrt[3]{8})^2 + \sqrt[3]{8} \cdot 2 + 2^2)}{( (\sqrt[3]{8})^2 + \sqrt[3]{8} \cdot 2 + 2^2)}
=\frac{3(\sqrt[3]{8})^2 + \sqrt[3]{8} \cdot 2 + 2^2) }{(\sqrt[3]{8})^3+2^3}$$
[1] Es fácil demostrar la identidad multiplicando \(\sqrt{x}\) por \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
domingo, 28 de diciembre de 2014
Kubuntu suddenly slow and unresponsive [Solved]
After load many ebook on my HD, Kubuntu (14.04) started to lag in the actions, It's mean that when I do an actión (click on an item) it was freeze for 10 seconds, and then it works. I fixed the problem deactivating desk search in system preferences.
domingo, 21 de diciembre de 2014
Aproximaciones a Pi
Esto serán unas notas en evolución.
Programita en C++ que hace aproximación:
http://cpp.sh/8hwv
[1]http://es.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi
[2]http://www.isi.edu/~johnh/BLOG/1999/0728_RATIONAL_PI/
-------
Series y pi, anotaciones para repasar:
http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Basilea#Aplicaci.C3.B3n_al_c.C3.A1lculo_de_.CF.80
El Sr. Zu Chongzhi [1], allá en el S.V en china consiguio un par de las mejores aproximaciones racionales a PI.
$$\frac{22}{7}=3,142...$$
Que todavía se utiliza para celebrar el día de aproximación a Pi el 22 de julio (el día de Pi es el 14 de marzo). La otra fracción de Chongzhi que aproxima Pi con 6 decimales es: $$\frac{355}{113}=3,1415929...$$
Para conseguir mayor acercamiento parece que ya hay que recurrir a fracciones con números de 5 cifras en numerador y denominador[2].
Programita en C++ que hace aproximación:
http://cpp.sh/8hwv
[1]http://es.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi
[2]http://www.isi.edu/~johnh/BLOG/1999/0728_RATIONAL_PI/
-------
Series y pi, anotaciones para repasar:
http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Basilea#Aplicaci.C3.B3n_al_c.C3.A1lculo_de_.CF.80
miércoles, 10 de diciembre de 2014
Nostromo nave remolcadora
La USCSS Nostromo era una nave remolcadora de 243'8 metros de eslora que lleva una plataforma de más de kilómetro y medio. Y allí, en la plataforma, permanecí despierto todo el trayecto. Lamento lo que les sucedió a los del remolcador. Me dijeron que tuvieron una plaga.
Conversación del capitán Dallas con el ordenador de abordo (vía terminal)
Dallas: Request evaluation of current procedures to terminate alien
MU-TH-UR 6000: Unable To Compute
Dallas: Request options for possible procedure
MU-TH-UR 6000: Available Data Insufficient
Dallas: What are my chances?
MU-TH-UR 6000: Does Not Compute
Dallas: Solicito evaluación de los actuales procedimientos para eliminar al alien.
Dallas: Solicito evaluación de los actuales procedimientos para eliminar al alien.
MU-TH-UR 6000: Incapaz de calcular
Dallas: Solicito opciones de posible actuación
MU-TH-UR 6000: Datos disponibles insuficientes
Dallas: ¿Qué posibilidades tengo?
MU-TH-UR 6000: No procesable [1]
Nota traducción
[1] Enlace
domingo, 7 de diciembre de 2014
Sobre el significado físico del teseracto
La
cuarta dimensión ha sido objeto desde hace tiempo de la fascinación
popular, sin embargo que puede decirse de la realidad de esos
objetos. Concretando: ¿existen los hipercubos?
El
hipercubo ("cubo" de 4 dimensiones) es también conocido
como teseracto (tesseract), término acuñado por Charles Howard en
su libro "A New Era of Thought" (Aquí copia de 1888 )
Tanto
en París como en Madrid pueden verse representaciones de este
objeto, en el primer caso como un edificio y en el segundo como
escultura. Tengo por ahí fotos originales pero no tengo ganas de
buscarlas (no, no lamí los teseractos ni nada, solo les hice fotos).
El
preguntarnos por la existencia de los teseractos puede verse como un
aspecto particular de otra cuestión más general: ¿las matemáticas
se descubren o se inventan? Se trata de una pregunta filosófica de
calado en la que no vamos a entrar. Sea como fuere, el caso del
hipercubo nos indica que el sentir popular es que las matemáticas se
descubren e incluso más que el mundo matemático y el real vienen a
ser lo mismo.
Pero
empecemos por el principio. El señor Descartes con su plano, logró
localizar cada punto con dos números que tradicionalmente se
representan con las letras x e y (las famosas abscisas y ordenadas).
Si añadimos el eje z a la fiesta (que es la cota, término mucho
menos utilizado), ya tenemos las 3 dimensiones espaciales y podemos
localizar cualquier punto del espació con una ristra (n-upla) de
números de la forma la (x,y,z), si están compuestas de números
reales, podemos localizar un punto cualquier lugar
del
espacio o del plano. Esta forma de representar la geometría permitió
el matrimonio de dos augustas casa matemáticas, la geometría y el
álgebra facilitando los cálculos en las dos áreas.
De
ese modo, un cuadrado de lado 1 es la figura que tiene los vértices
en los puntos (0,0),(0,1),(1,0) y (1,1) de los ejes (x,y) de un plano
cartesiano.
Equivalentemente
un cubo de lado 1 es un cuerpo que tiene los vértices en los puntos
(0,0,0), (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1).
Por
simple combinatoria podemos decir donde estarían los vértices de un
hipecubo dada la 4-upla (x,y,z,t).
El
problema viene cuando queremos ver esas matemáticas en la realidad y
asignamos a una entidad física cualidades matemáticas.
Por
ejemplo, alguien puede decirnos que disfruta de su yate, o que tiene
dos yates, pero qué pensaríamos de alguien que afirma la existencia
de su 0 yate y se dedica a buscarlo por un embarcadero. No es que no
tenga ningún yate, es que tiene 0 yate puesto que 0 es un número y
tiene que estar. Pensaríamos que no aplica adecuadamente la
propiedad de “no existencia” del elemento 0 al contabilizar sus
yates o que sufre algún trastorno mental.
También
podemos reproducir el milagro de los panes y los peces si aplicamos
las propiedades matemáticas de los números a nuestra manera. Así,
si cogemos un pan y lo dividimos entre una cantidad menor que uno,
por ejemplo 0,001, tendremos mil panes.
Para
que las masas se convenzan solo hay que coger la calculadora, y ver
que las matemáticas no fallan 1 pan (real) entre 0'001 son 1000
panes.
El
problema es que para que los cálculos con panes tengan significado
físico tenemos que usar números naturales (1,2,3,..), o a lo sumo
recurrir a los fraccionarios obteniendo mil lonchas milésimas de pan
o, si le debemos panes a alguien, podemos aprovechar las propiedades
de los números enteros negativos.
Realmente,
tampoco el cuadrado y el cubo "existen", son objetos
matemáticos, pero es fácil darles sentido físico. Por ejemplo, si
llamamos al lado de una figura plana a, tenemos que el área del
cuadrado es a^2, el volumen del cubo a^3 y el hipervolumen del
teseracto es a^4. Las tres afirmaciones son ciertas, de hecho si os
compráis alguna vez un unicornio bebe, pensad que necesita unos 3'4
metros cuatruplos (de dimensión 4) para desarrollarse bien. Los
dragoncitos son más jodidillos, necesitan una habitación de casi 4
metros pénticos (dimensión 5) y si los criáis a la vez tenis que
tapiar la 5 dimensión de la habitación del dragón que si no se os
comerá al unicornio (Casi puedo escuchar los lamentos a trabes de la
décima dimensión ¡Dios mió la habitación de dimensión 4 del
unicorcito esta toda llena de sangre multicolor y azufre! ¡Pero si
la deje cerrada!).
Se
pueden encontrar usos de hipercubos hasta en antropología (aquí), para
los que igual sería mejor, simplemente, utilizar teoría de grafos y
no usar grandilocuencias. El problema del hipercubo es cuando se
insiste en el significado físico y ya ponemos nuestra propia salsa,
y es que eso del hipercubo mola mucho. Seguro que en algún
restaurante de cocina de esta moderna se puede encontrar rodaballo
asado a la espuma del teseracto con reducción de jerez cuántico.
Las concepciones matemáticas son lo que son y a partir de ahí
podemos aplicarlas como queramos, pero ojo, esa aplicación ya no es
asunto de las matemáticas en sí.
Y
para finalizar les dejo con una interesante afirmación de una tesis
de informática (creo) que no me parece ni cierta ni falsa.
“Una
pregunta que viene siempre a la mente
cuando se
escucha por primera la palabra
hipercubo
4D es, ¿Realmente existe esta figura?,
la
respuesta es si, en geometría plana, ya
que los
objetos no necesariamente tienen que
ser reales,
dado que se pueden representar
como
diagramas o modelos matemáticos»
La
cuestión es la comentada, el objeto matemático existe, pero no se
corresponde a nada real. Y con algo real no me refiero a una base de
datos que cuadre con la estructura algebraica de un hipercubo. Y sí
la cuarta dimensión, por supuesto es realísima, si no que se lo
pregunten a la profesora de álgebra lineal (y la eneśima dimensión
también). Pero no pretendan que un arquitecto les amplíe el piso
haciendo uso de dimensiones adicionales. En fin, que supongo que se
entiende lo que quiero decir.
Pondría imágenes y lo dejaría todo más arreglado, pero mi esposa me esta esperando para dar una vuelta y no quiero dañar mi relación matrimonial por algo tan etéreo como las dimensiones superiores.
Al 1r comentario:
Calle "La cuarta dimensión" Acojonante.
Al 1r comentario:
Calle "La cuarta dimensión" Acojonante.
viernes, 5 de diciembre de 2014
Bases neurológicas de la inteligencia en las aves
Resumen de una
noticia sobre un artículo sobre las bases neurológicas de la
inteligencia aviar (no, no es sobre el artículo en sí, ya sé que es muy
“radio macuto”; al final tienen el artículo).
Los mamíferos son
únicos respecto a su neocórtex y las habilidades que confiere a sus
poseedores, pero recientemente un grupo de investigadores de la
Universidad de Chicago han confirmado que las aves tienen “su
propia versión” del neocórtex. Este descubrimiento puede ayudar a
comprender su inteligencia.
En ambos casos, del
telencéfalo embrionario se origina el pallium [1] [2](que en la nota
de prensa llaman “dorsal ventricular ridge”) . Para no liarla, lo
llamaremos DVR, como veo que suelen hacer.
Sin embargo el DVR
evoluciona de forma distinta, en los mamíferos forman seis capas
neuronales mientras que en las aves contiene grandes agrupaciones de
neuronas (clusters) llamadas “nuclei”.
Durante los últimos
50 años esa estructura aviaria había resultado misteriosa y se le
atribuía una función similar a la amígdala, órgano responsable en
los mamíferos de las reacciones emocionales y relacionada con el
aprendizaje. El neocórtex se consideraba un atributo exclusivo de
los mamíferos. Desde los 60, se especuló que más bien debería ser
la zona cerebral aviar que hace las funciones del neocórtex mamífero.
¿Cómo han probado
que el “nuclei” aviario es el equivalente del neocórtex
mamífero? (nota epistemológica, en ciencia no se puede demostrar,
solo se puede probar -como en un juicio, incluso más allá de toda
duda-. Solo la matemática es capaz de realizar demostraciones).
Pollo y Pinzón cebra, aves asadas usadas en el estudio
(Pinzón:Wikipedia)
El equipo de
Dugas-Ford y Ragsdale han utilizado unos marcadores moleculares
recientemente descubiertos de las capas 4 y 5 del DVR mamífero (que
operan de entrada y salida respectivamente) y los han buscado en dos
especies de aves; pollos y pinzones cebra. Entonces han buscado si
esos marcadores se expresan en el DVR de los pobres pajarillos,
encontrando que aparecían en dos núcleos neuronales,
estableciéndose un homología entre las dos estructuras cerebrales
(es decir, emparentadas evolutivamente). Los investigadores también
han puesto de relieve como estructuras cerebrales construidas con las
mismas células, pueden realizar funciones diferentes (esa homología
no implica que los órganos sean análogos. El ejemplo perfecto
serian unas patas y unas alas. Sin embargo sí son análogos las alas
de un cóndor y una mosca pero en absoluto son homólogos).
Aquí el artículo
Notas
lunes, 1 de diciembre de 2014
Pong
Campeonato de Pong con una consola de finales de los 70. Ahora no recuerdo la marca y el modelo, es de color naranja con dos potenciómetros para mover las barras. No se ha logrado mana mejor en videojuegos.
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