martes, 25 de noviembre de 2014

Teoremas para estudio de funciones. Análisis matemático.

Teorema Weiertrais.

\( \exists \) máximo y mínimo en \( f \) continua en compacto (acotado y cerrado).

Para determinar estos puntos se ha de estudiar; puntos interiores al intervalo \( I \) con \( f' = 0\), la frontera de \( I \) y los puntos donde \( \nexists \: f'\).

Otros

Siendo \( f \) y \( g \) continuas en \( (a,b) \) y derivables en \( [a,b] \):

T. Rolle
Si \( f(a) = f(b)\), entonces \( \exists c \: \in (a,b) \: | \: f'(c)=0\)
T. Lagrange (o de valor medio)
\( \exists c \: \in (a,b) \: | \: f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
T. Cauchy
\( \exists c \: \in (a,b) \: | \: \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\)


Estudio de raíces de una función

Para el estudio de las raíces de una función tenemos que por el teorema de Rolle, si \( f(a)=f(b)=f(c)\) se anulará por lo menos en 2 puntos.

El número de soluciones para \( f(x) = 0 \) en \( (a,b)\) es menor o igual al número de ceros para \( f'\: +1\). Por ejemplo, para \( f' \neq 0\) como mucho tendrá una raíz, como se ve en la gráfica (puesto que esta solo corta las abscisas una vez). Ejemplos gráficos:


sábado, 22 de noviembre de 2014

Apuntes sobre derivadas

* Una función \(f\) es derivable en un punto \(a\), cuando el límite de abajo, existe y es finito (o el límite es infinito y \(f\) continua en \(a\)).
 $$ lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
* La función \(f\), tienen derivada en \(a\) si el límite anterior es igual por derecha e izquierda.
* Si \(f\) es derivable en \(a\), es continua en \(a\). El recíproco no es necesariamente cierto. Por ejemplo \(f(x) = |x|\) es continua pero no derivable en \(f(x)=0\).

Caracterizaciones

\(f\) es continua en \(c\):
$$lim_{x\rightarrow c^+} \: f(x)=f(c)=lim_{x\rightarrow c^-} \ f(x)$$

\(f\) derivable en \(c\):

$$lim_{x\rightarrow c^+} \: \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=lim_{x\rightarrow c^-} \: \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$

Reglas de derivación

$$(f \pm g)'(a) = f'(a) \pm g'(a)$$
$$(f \cdot g)'(a)= f'(a) \cdot g(a) + f(a) \cdot g'(a)$$
$$(\frac{f}{g})'(a)=\frac{f'(a) \cdot g(a) - f(a) \cdot g'(a)}{(g(a))^2}$$
$$(g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a)$$

Ejemplo de cálculo por la fórmula de definición:

$$f(x)=x^2$$
Su derivada sería el límite de:
$$lim_{h \rightarrow 0} \: \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Operando;
$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2hx+h^2}{h}=2x+h=2x+0=2x$$ 

Derivada inversa

Siendo \(f\) monótona y continua en un intervalo (inyectiva), si \(f\) es derivable en el intervalo y \(f'(a) \neq 0\) entonces \(f^{-1}\) es derivable en \(b=f(a)\), siendo: 
$$ (f^{-1})'(b)= \frac{1}{f'(a)}$$


Caracterización continua y monótona
  • La continuidad se determina estudiando la misma función (polinómica...)
  • La monotonía, si la derivada de \(f\) en el intervalo es \(\forall x > 0 \) o \( \forall x<0\) se garantiza la monotonía.

 .................................--------·····ooooooo0008000ooooooo·····--------..................................

Derivada en un intervalo




Teorema de Weiertrass

Siendo \(f\) en el intervalo K. Todo intervalo tiene máximo y mínimo. 
$$f(a) \leq f(x) \leq f(b) \: \forall x \in K$$

Si \(f\) en un intervalo y derivable, tienen un máximo o mínimo en a, entonces; \(f'(a)=0\).

Pero, tener en cuenta que;

\(f(x) = |x|\) tiene un mínimo en \(f(0)=0\) pero no existe derivada en ese punto. 

Para \(f(x)=x^3 \: \exists f'(x)=0\) pero esa tangente horizontal no es ni máximo ni mínimo.


Todo máximo o mínimo del intervalo K, pertenecen a:
$$A={x \in int(K) \: | \: f'(x)=0}$$
$$B=fr(K)$$
$$C={x \in int(K) \: | \: \nexists f'(x)}$$

Para determinar los extremos de una función en un intervalo hay que estidudiar esos tres conjuntos (derivada = 0, frontera  o interior sin derivada).


Teorema de Rolle

Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y derivable n \((a,b)\) tal que \(f(a)=f(b)\) entonces \(\exists \: c \: \in (a,b) | f'(c)=0\)


Teorema de Cauchy


Si \(f\) y \8g\) continuas en \([a,b]\) y derivables en \((a,b)\) entonces \(\exists \: c \: \in (a,b) \) tal que:

$$[f(b)-f(a)] \cdot g'(c) = [g(b) - g(a)]f'(c)$$


Hay varios corolarios que se desprenden

  • Si \(f'(x) = 0\) en \(\forall x\), entonces \(f\) es constante.
  • Si \(f'(x) = g(x) \: \forall x\), entonces \(f-g\) es constante.
  • Si \(f'(x) = >0 \forall x\), entonces \(f\) es creciente.
  • Si \(f\) tiene derivada acotada en \((a,b)\) entonces es uniforme continua en \( (a,b)\).

Regla de l'Hopital

SupperBoonus:
Calculador de derivadas paso a paso.
http://www.derivative-calculator.net/

miércoles, 5 de noviembre de 2014

Chistes matemáticos





Chistes matemáticos traducidos /adaptados de http://www.math.utah.edu/~cherk/mathjokes.html



La diferencia entre un matemático introvertido y uno extravertido es que el introvertido mira sus zapatos cuando habla contigo, mientras que el extrovertido mira los tuyos.  

Un biólogo cree que es un bioquímico, un bioquímico cree que es un químico, un químico cree que es un físico, un físico cree que es Dios, y Dios cree que es un matemático. 

A un matemático le piden que diseñe una mesa, primero diseña una mesa sin patas, después otra con infinitas patas. Gasta el resto de su vida generalizando el problema al de una mesa con n patas (donde n no es necesariamente un número natural).

Un físico y un matemático están en la cafetería de la universidad cuando de repente la maquina de café se incendia. El físico se levanta, coge un cubo, lo llena de agua y tirándolo sobre la máquina apaga el fuego. El día siguiente, otra vez, la máquina de café vuelve a incendiarse. El matemático se levanta coge un cubo y lo pone en las manos del físico, reduciendo el problema a uno previamente solucionado.

Un biólogo, un físico y un matemático están en un bar mirando a la gente pasar. Entonces, dos personas entran en una furgoneta y diez minutos después salen tres. Se han reproducido -dice el biólogo.- Hemos cometido un error de medición -exclama el físico-. En cuanto entre otra persona volverá a estar bacía -concluye el matemático-.

Un físico y un matemático náufragos en una isla desierta encuentran una lata en la playa, como no tienen abridor el físico empieza a pensar en alguna forma ingeniosa de abrirla. De repente el matemático tiene una idea y sonríe satisfecho; “asumamos que tenemos un abridor”.

Dos matemáticos están discutiendo delante un poste y un ingeniero les pregunta que les pasa. Le dicen que intentan averiguar la altura del poste. El ingeniero desmonta el poste, lo mide con cinta métrica, vuelve a montarlo, “son 4'32 metros” , les dice y se va. Un matemático le dice al otro: “Que extraños son los ingenieros, si les preguntas una medida, te la dan y se quedan tan contentos”.

El decano se reúne con todos los departamentos para hablarles de los recortes y les dice: “no podemos seguir manteniendo el gasto de los departamentos más caros, como por ejemplo el de física que usa máquinas clarísimas, tomen ejemplo del de matemáticas que solo necesitan lápiz, papel y una papelera, o mejor del de filosofía que solo necesitan lápiz y papel”.

Un matemático se encuentra una lámpara mágica de la que sale un genio y le pregunta: “¿qué prefieres, media patata hervida o la felicidad plena?”. “Media patata hervida” -responde- “puesto que nada es mejor que la felicidad plena y media patata es mejor que nada”.

Un físico que ha terminado sus experimentos le deja sus ecuaciones a un matemático para que las verifique. “Estas fórmulas no tienen ningún sentido” le responde el matemático cuando vuelven a verse. “pero si predijeron exactamente los resultados ¿estas seguro que están mal? -responde el físico- a lo que el matemático dice: “bueno, para ser exactos, son correctas en el caso trivial que se usen números reales”.

Un ingeniero, un físico y un matemático viajan en tren por Escocia. Al mirar por la ventanilla el ingeniero exclama: Anda en escocia las ovejas son negras. Eso no es exacto -dice el físico- hemos de decir que en Escocia al menos hay un prado donde sus ovejas son negras. Bueno, -añade el matemático- eso tampoco no es exacto, deberíamos decir que en Escocia al menos hay un prado donde sus ovejas tienen al menos un lado negro.