sábado, 17 de noviembre de 2012

Ejercicio 11a de álgebra abstracta

Si \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,·)\) no es primo, entonces existen divisores de 0 en \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,·)\) y por lo tanto no es un cuerpo.

 -Ah! pues vale. Como mola, tú.
 -Pues me alegro que te mole porque has de demostrar que si n no es primo existen divisores de 0.
-Mecagüen...

 Empecemos repasando.
 Para un anillo (A,+,·)  \(a \in A , a\neq0\) es un divisor de 0 si \(\exists b \in A, b\neq0 \) de forma que \(ab = 0 \) Por otro lado un número primo es aquel que \(\frac{n}{p}=n \vee \frac{n}{p}=1\) por lo que p = n o 1.
 Si el módulo es un número primo (ñ) tendremos que \([a][b]\neq ñ\), excepto que \(([a]=0) \vee ([b]=0)\). Sin embargo si ñ no es primo \(\exists [a],[b], [a][b] = ñ\) siendo \(([a]\neq0) \vee ([b]\neq0)\).
Es decir, ninguna clase de equivalencia divide al módulo.

Ejemplos para  \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},\mathbb{Z}/7\mathbb{Z},\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\)

Módulo 3
* 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

Módulo 6 
En negro las casillas de divisores de 0.
* 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1

Módulo 7
* 0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6
2 0 2 4 6 1 3 5
3 0 3 6 2 5 1 4
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1

Módulo 9 
En negro las celdas que indican un divisor de 0
* 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 0 2 4 6 8 1 3 5 7
3 0 3 6 0 3 6 0 3 6
4 0 4 8 3 7 2 6 1 5
5 0 5 1 6 2 7 3 8 4
6 0 6 3 0 6 3 0 6 3
7 0 7 5 3 1 8 6 4 2
8 0 8 7 6 5 4 3 2 1

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