Euclides y Peano

Apuntes de última hora.

Representación de Euclides (325 - 265 antes de nuestra era)

La geometría arranca de sus postulados, seguramente les suenen los famosos postulados de los Elementos de Euclides:

1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera.
2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5.  Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (esto no sucede en todas las geometrías).

Este tipo de definiciones, sobre las que se irán haciendo inducciones, es la esencia del método axiomático. Euclides nos permite decir cosas como que un punto es la unión de dos rectas y la una recta la unión de dos puntos. 

También tenemos a Peano, que expuso unos principios similares para los números naturales. De hecho, parece una especie de Euclides para la aritmética. 

Giuseppe Peano (1858-1932)

Axiomas de Peano.

1. El 1 es un número natural.1 está en N, el conjunto de los números naturales.
2. Todo número natural n tiene un sucesor n* (este axioma es usado para definir posteriormente la suma).
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto K de n. naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor k* también pertenece al conjunto K, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto K. Este último axioma es el principio de inducción matemática.

Como nota curiosa, Peano construyó una curva que recubre el plano que recuerda mucho a los actuales fractales. http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Peano