jueves, 29 de enero de 2015

Como cazar un ciervo


Como cazar un ciervo

Un físico, un matemático y un ingeniero quedan para realizar una cacería:
El físico observa el tamaño, color, olor y conformación espacial de un animal y al coincidir con los de un ciervo y dispara sobre él en una zona anatómica que provoque el colapso vital del organismo.
El matemático sale del bosque y se va al bar del pueblo donde tienen una cabeza de ciervo disecada y le pregunta al camarero si aquello son los restos de un ciervo que fue cazado, le responde que sí. Después de asegurarse que todavía existen ciervos, dice que la solución es trivial y se pide una cerveza.
El ingeniero dispara a algo que se mueve, y como él fue a cazar ciervos, intenta convencer al guarda forestal herido que es un ciervo.

martes, 20 de enero de 2015

Frases sobre matemáticas y su relación con las ciencias


C. S. Pierce (1839-1914)

  • Las matemáticas estudian lo que es y lo que no es lógicamente posible, sin hacerse responsable de su existencia real.
  • La matemática es la ciencia de las conclusiones necesarias.

Poincaré (1854-1912)

  • Los axiomas geométricos no son, pues, juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales. Son convenciones.

René Thom (1923, matemático francés)

  • Los físicos, en general, son personas que de una teoría mal planteada deducen resultados [numéricos.]
Estas frases me llevan a algunos pensamientos,  ya pensados, sabidos, explicados e incluso bramados, sin duda, sobre la naturaleza de las matemáticas y de la relación de otras ciencias con ella. Incluso sería mejor decir de la ciencia. Difícil es predecir sin matematizar. La mera clasificación es más conocimiento que ciencia. En fin, que tengo faena y no me puedo dedicar a hacer entradas mínimamente elaboradas. Solo una última cosa, las matemáticas son unas reglas tal y cual. Y si tal y cual pues pasa aquello y lo de más allá. Lo que sea como tal y cual ya no es cosa de las matemáticas. Esto es lo que venía a decir Russell con su definición.

martes, 13 de enero de 2015

Demostración de la monotonía de una sucesión

Vamos a mostrar tres métodos con un ejemplo; demostrando que \(\frac{1}{n}\) es una sucesión monótona decreciente. Veamos.


Criterio resta.

Aquí restaremos un elemento de la sucesión del siguiente, para que la sucesión decrezca estrictamente ( \(a_{n+1} \geq 1_n\) ) esta diferencia tendrá que ser mayor que 0.

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n^2 +n}>0$$

Que será siempre mayor que 0 por ser una fracción de números positivos (\(n \in \mathbb{N}\) ). Por cierto, ahí tenemos la fórmula para la distancia de un elemento de la sucesión con el siguiente.

Criterio fracción.

Dividiendo un elemento por el siguiente, como decrece, esa fracción deberá ser mayor que 1. Veamos:

$$\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}= \frac{n+1}{n}>1$$

Criterio derivada.

Si consideramos una función \( \frac{1}{x}\) que toma los mismos valores que la sucesión \( \frac{1}{n}\) cuando \( x = n \), podemos derivarla y ver que el valor de ésta es siempre negativo, es decir, que el valor de la pendiente de la función siempre desciende.

$$\frac{1}{x}'= - \frac{1}{x^2}<0$$ Que es negativa para todos los valores.

domingo, 4 de enero de 2015

Sumas infinitas y pedagogía de la Uned


Vamos al grano, que en el fondo este es un post para contestar una pregunta:

En la pág 645 del Calculus de Spivak (2Ed.), nos explica como realizar la   suma "infinita" de cuadrados (suma parcial) de la forma $$S_n=1+x+x^2+...+x^n$$
Si tomamos otra serie tal que así (si |x|<1):
$$ x \cdot S_n=x+x^2+...+x^n+x^{n+1}$$
Restándolas tenemos que:
$$S_n-x\cdot S_n=1-x^{n+1}=S_n(1-x)=1-x^{n+1}$$
Con lo que:
$$S_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
La fracción está definida puesto que \(x \neq 1\).

Que pasa si nos piden la suma de  n potencias de 2: Si aplicamos la misma técnica:

$$S_n=2^0 +2^1+2^2 +...+2^n$$ a la que le restamos ella misma por 2:
$$2 \cdot S_n=2 +2^2 +...+2^n+2^{n+1}$$
Tenemos que:
$$(2 \cdot S_n) - S_n = -2^0+2^{n+1}$$
Por lo tanto:
$$S_n=2^{n+1}-1$$ 

¿Qué se ha hecho aquí? La técnica puede encontrarse muy bien explicada en pág. 610 de Ron Larson, Cálculo de una variable. 9 Ed.

Se ha transformado la serie original, en una serie telescópica, que son aquellas que sus términos se van anulando y lo queda es el primero y el último (el nombre es muy gráfico, telescópicas...como una caña de pescar).

Y aquí, solo queda, declamar tristemente el bajísimo nivel pedagógico de algunos materiales de la Uned (mates). Serán muy formales y todo lo que ustedes quieran, pero son lo peor para cualquier estudiante. Se supone que el que se acerca a estos estudios no conoce el tema (por eso lo estudia ¿no?). Hacen los manuales como para quien ya lo sabe, al principio puede resultar muy frustrante. Al final, uno hace lo que ustedes han visto, te agencias algunos manuales que "expliquen" las cosas (ni que sea en pdf -ya me entienden-) y ya está. El texto base se puede utilizar para saber que materia se va a estudiar y poco más.

Y con todos ustedes el ejemplo prototípico de profe de  mates la Uned (por cierto, si lee esto y da la casualidad que es un profesor de la Uned, usted es, una honrosa excepción y su libro es lo mejor que he visto en mi puñetera vida).