Integrales definidas

Una ayuda para el estudiante de estadística de la UNED:

Sopormetría

Aquí les hablé del cálculo de un intervalo de confianza para la media de lo que tardan en despedirse los estudiantes en el “chat”, al finalizar una clase virtual de álgebra abstracta de la UNED. Recuperando los datos, les dejo dos sesiones más, en forma de tres gráficos (si quieren saber de que va el rollo consúltenlo). 

De lo que recuerdo, la clase B fue con diferencia la expuesta con más “gracia”. La de hoy, la C, un tanto soporífera. Los segundos que tardan los estudiantes en despertarse y teclear un “gracias” parece un buen indicador de lo atractiva que es la clase.

Media de segundos en despedirse e intervalo de confianza del 95%

A mathematical induction exercise

Nowadays, I am taking some classes of abstract algebra at UNED, because mathematics is a powerful tool to research and I have in mind starting Ph.D studies (I have a master degree) in the future (perhaps). I want to talk about mathematical induction in this post for practicing Maths and improving my bad English too. 
We have to demonstrate that if \(n\geq 1\), then: $$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$ Happens for any number. First we check that this happens for 1. $$1 = \frac{1(1+1)}{2} = 1$$ And, we need to check for \(n+1\). $$1+2+3+...+ n+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}=$$ $$\frac{(n+1)^{2}+(n+1)}{2}=\frac{n^{2}+2n+1+n+1}{2}=$$ $$\frac{n^{2}+n+2n+2}{2}=\frac{n(n+1)+2n+2}{2}=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$$ Therefore, as we can see: $$1+2+3+...+ n + (n + 1) = \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$$

Quod erat demonstrandum

Matemáticas aplicadas

En el S.XV se utilizaron para medir el sistema solar

Ahora sirven para diseñar escaleras

Fuente: http://www.cuantarazon.com/busqueda/0/matematicas/p/8

Zepöl Zeuqzav, un científico olvidado

Unos físicos de california han logrado localizar al Lunojod-1, el primer vehículo no tripulado en posarse y recorrer la luna, perdido desde que dejara de transmitir el 14 de septiembre de 1971. Vean la noticia:

http://actualidad.rt.com/video/ciencias/view/72125-F%C3%ADsicos-de-California-hallan-Lunojod-1

Sin embargo, poco se sabe de la fantástica historia del científico inició el proyecto. 

Zepöl Zeuqzav (1905-1979) fue el diseñador del vehículo lunar Lunojod en sus primeras fases, proyecto que había emprendido por iniciativa propia. 

Zepöl Zeuqzav en 1956

Parece ser que dada la falta de recursos, Zepöl utilizó un antiguo carrito infantil, de su hijo Bladimir Zeuqzav (quien fue un brillante ingeniero que falleció a los 28 años en la explosión de un cohete) junto con la bañera familiar. Junto con su hijo realizó gran cantidad de pruebas depurando el diseño. A mediados de los años 60 ante los avances de los estadounidenses en la carrera espacial, el proyecto de Zepöl llegó a oídos de Kerim Kerimov que rápidamente lo incorporó al equipo de ingenieros del programa espacial soviético. 

Lunojod, vehículo soviético de exploración lunar

Zepöl tubo algunos enfrentamientos con Seguei Koroliov (ingeniero jefe, cuyo nombre sólo fue hecho público tras su muerte), aparentemente por cuestiones sin importancia. Un informe interno acusó a Zepöl de consumir el almuerzo preparado para Koroliov en varias ocasiones. Estas fricciones, cuyo trasfondo real era la competencia entre los dos sabios, hicieron que Zepöl fuera invitado a abandonar su puesto. A partir de ahí, Zepöl fue apartado del proyecto Lunojod. 

El encargado de continuar con el proyecto fue Alexander Kemurdjian, que al tener acceso a los planos originales, se percató del verdadero origen del diseño. Este hecho llegó al conocimiento de la cúpula de dirigentes soviéticos, los cuales montaron en cólera al pensar que los logros tecnológicos del socialismo podrían quedar empañados si se conocía el origen del vehículo. 

Inmediatamente se ordenó que se cambiara radicalmente el aspecto del Lunojod. Sin embargo a aquellas alturas resultaba imposible realizar modificaciones sustanciales sin tener que empezar de cero. Se calculó que rehacer el Lunojod podría suponer un atraso en el proyecto como mínimo de dos años. El hecho que esta decisión coincidiera con la llegada del primer hombre a la luna en 1969, obligó a los soviéticos a continuar con el diseño original de Zeuqzav. Desgraciadamente para Zepöl Zeuqzav, toda su contribución al proyecto fue arrojada al olvido. De ser un héroe científico paso a ser una lacra para la carrera espacial soviética. Murió en 1979 en una mísera pensión de un barrio periférico de Moscú, donde pasó sus últimos años en compañía de su perro, que era curiosamente descendiente de una hermana de camada de Laica. 

 Solo muy recientemente, por la desclasificación de algunos documentos secretos, se han desvelado algunos detalles de la obra de Zepöl, un hombre humilde que consiguió, con pocos recursos, señalar el camino a seguir.

Sin sanidad, sin educación y ahora sin justicia

"No permitas que  tu salud se convierta en un negocio como sucede en América"

Recortes en sanidad, aumento de tasas universitarias (60%), tasas para acceder a la justicia, purgas en la televisión nacional. ¿Es la crisis una escusa para cambiar el modelo social? De aquí a 15 años me lo contarán, pero cuando no esté el señorito delante, no sea que se disguste. 

Miren, lo siguiente lo escribí en 2006. Su crisis (no la mía) empezó en 2008.

"Para que nuestra economía no entre en crisis o recesión, es necesario un crecimiento mantenido. Particularmente me parece muy extraño y peligroso, pero parece ser que funciona así, al menos eso dicen los entendidos. No hace falta ser muy imaginativo para entender que nada crece para siempre –que se lo digan a los romanos-.

Entonces ¿Hemos de esperar una futura recesión de forma inevitable, tal que el desplome del año 29 o la crisis argentina? Tal vez no, siempre y cuando se modifique el modelo: El sistema de producción de bienes y servicios no era el mismo en el siglo XIX que en el XX. De la misma manera lo que funcionaba hasta ahora tal vez empiece a bombear en falso de aquí a un tiempo."

http://spingera.blogspot.com.es/2006_07_01_archive.html

Ustedes no lo creerán, pero de seguir esta tónica, si esta forma de hacer cala y puesto que somos tan necios que la fuerza de la costumbre es capaz de hacernos ver cualquier cosa como una ley natural, ahora, al estilo iluminado, les diré otra cosa, les mostraré una imagen del futuro, recalco, si la linea actual no se revierte:

 España, año 2027

El espíritu de la máquína

Siempre pensé que R2-D2 debían accionarlo completamente por control remoto, sin embargo algunos de sus movimientos de debían a un actor con enanismo; Kenny Baker. El actor que animaba a C3-PO era Anthony Daniels.

Imagen solo enlazada

Por cierto, ¿y Jabba el Hutt¿ ¿animatrónico? Aquí tiene la respuesta: Dentro de Jabba.

Carl Sagan a los 27 años

(1934 – 1996)

Resistente al lavavajillas, al micro-ondas y a las barrancadas.

Efectos de las lluvias en el Baix Ebre (Tarragona), en la noche del 17/11/2012

 

Ejercicio 11a de álgebra abstracta

Si \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,·)\) no es primo, entonces existen divisores de 0 en \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +,·)\) y por lo tanto no es un cuerpo.

 -Ah! pues vale. Como mola, tú.
 -Pues me alegro que te mole porque has de demostrar que si n no es primo existen divisores de 0.
-Mecagüen...

 Empecemos repasando.
 Para un anillo (A,+,·)  \(a \in A , a\neq0\) es un divisor de 0 si \(\exists b \in A, b\neq0 \) de forma que \(ab = 0 \) Por otro lado un número primo es aquel que \(\frac{n}{p}=n \vee \frac{n}{p}=1\) por lo que p = n o 1.
 Si el módulo es un número primo (ñ) tendremos que \([a][b]\neq ñ\), excepto que \(([a]=0) \vee ([b]=0)\). Sin embargo si ñ no es primo \(\exists [a],[b], [a][b] = ñ\) siendo \(([a]\neq0) \vee ([b]\neq0)\).
Es decir, ninguna clase de equivalencia divide al módulo.

Ejemplos para  \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},\mathbb{Z}/7\mathbb{Z},\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\)

---

Módulo 3

*	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

---

Módulo 6 
En negro las casillas de divisores de 0.

*	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

---

Módulo 7

*	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6
2	0	2	4	6	1	3	5
3	0	3	6	2	5	1	4
4	0	4	1	5	2	6	3
5	0	5	3	1	6	4	2
6	0	6	5	4	3	2	1

---

Módulo 9 
En negro las celdas que indican un divisor de 0

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2	0	2	4	6	8	1	3	5	7
3	0	3	6	0	3	6	0	3	6
4	0	4	8	3	7	2	6	1	5
5	0	5	1	6	2	7	3	8	4
6	0	6	3	0	6	3	0	6	3
7	0	7	5	3	1	8	6	4	2
8	0	8	7	6	5	4	3	2	1

Otro ejercicio de álgebra

Otro ejercicio estudiantil de algebra abstracta, para autorepaso y clarificación de conceptos.

 Demuestre que \((\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, +,·)\) es una estructura de anillos. Además determine si \((\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, +,·)\), \((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +,·)\) y \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, +,·)\) son subanillos. 

Aquí repasamos lo que es la congruencia módulo y las clases de equivalencia. Podemos definir la relación módulo entre dos enteros así: $$a \equiv b \mod p \longleftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}, a - b = kp$$ Así que son dos números, para los que los restos de la división entera por el módulo coinciden. Ejemplo: \(260 \equiv 16 \mod 2 \), ya que 260 - 16 = 244 y 122·2 = 244 Respecto a las cases de equivalencia, veamos que tenemos una relación módulo 11 en el conjunto de enteros, en esa relación podremos definir 11 clases de equivalencia. Es como las horas del reloj, que todas las horas del año las definimos en 12 clases de equivalencias (o en 24 en los digitales), de forma que en horario de 24h, las 13:00h + 20h no son las 33:00h si no las 9:00h. Para nuestro caso y a modo de repaso. Mostramos las clases de equivalencias \((\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) y pondremos ejemplos de ellas en \(\mathbb{Z}\).

 $$(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z} = ([0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10])$$ $$[0] = (11,22,33,44,...)$$ $$[1] = (1,12,23,34,...)$$ $$[2] = (2,13,24,35,...)$$ $$[3] = (3,14,25,36,...)$$ $$[4] = (4,15,26,37,...)$$ $$[5] = (5,16,27,38,...)$$ $$[6] = (6,17,28,39,...)$$ $$[7] = (7,18,29,40,...)$$ $$[8] = (8,19,30,41,...)$$ $$[9] = (9,20,31,42,...)$$ $$[10] = (10,21,32,43,...)$$ Recuerden que [2] podría expresarse como [a], aunque 2 es un representante de esa clase de equivalencia igual que el 13 y el 35. Una vez refrescado esto, veámos si \((\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, +,·)\) es una estructura de anillos. 

En \(\mathbb{Z}\) las operaciones + y · son asociativas, por las tablas siguientes se observa claramente como 0 es el elemento neutro para +, tal como lo es el 1 para *. Presentamos la tabla \((\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, +)\) con letras para señalar la idea de lo abstracto de los elementos. Aunque seguidamente la presentamos como número por claridad. Las tablas se han construido con la ayuda de Excel y la función "residuo", para la tabla en html se ha utilizado esta herramienta en linea: aquí.

Tabla de Dayley para (Z/11Z, +)

+	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k
a	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k
b	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	a
c	c	d	e	f	g	h	i	j	k	a	b
d	d	e	f	g	h	i	j	k	a	b	c
e	e	f	g	h	i	j	k	a	b	c	d
f	f	g	h	i	j	k	a	b	c	d	e
g	g	h	i	j	k	a	b	c	d	e	f
h	h	i	j	k	a	b	c	d	e	f	g
i	i	j	k	a	b	c	d	e	f	g	h
j	j	k	a	b	c	d	e	f	g	h	i
k	k	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j

Aquí la misma tabla con números, más intuitiva.

Tabla de Dayley para (Z/11Z, +)

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	0
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	0	1
3	3	4	5	6	7	8	9	10	0	1	2
4	4	5	6	7	8	9	10	0	1	2	3
5	5	6	7	8	9	10	0	1	2	3	4
6	6	7	8	9	10	0	1	2	3	4	5
7	7	8	9	10	0	1	2	3	4	5	6
8	8	9	10	0	1	2	3	4	5	6	7
9	9	10	0	1	2	3	4	5	6	7	8
10	10	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

La tabla para el producto en \(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) es la siguiente:

Tabla de Dayley para (Z/11Z, *)

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	2	4	6	8	10	1	3	5	7	9
3	0	3	6	9	1	4	7	10	2	5	8
4	0	4	8	1	5	9	2	6	10	3	7
5	0	5	10	4	9	3	8	2	7	1	6
6	0	6	1	7	2	8	3	9	4	10	5
7	0	7	3	10	6	2	9	5	1	8	4
8	0	8	5	2	10	7	4	1	9	6	3
9	0	9	7	5	3	1	10	8	6	4	2
10	0	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Tal como en \(\mathbb{Z}\) la operación * es distributiva respecto a +. a(b + c) = ab + ac. y la reciproca puesto que son operaciones conmutativas. Recordamos que para demostrar que H es subanillo del anillo G, se ha de demostrar que: $$H \subset G$$$$H \neq \varnothing$$$$a-b \in H$$$$ab \in H$$

 Viendo las tablas nos percataremos que a cualquier par de elementos de \(\mathbb{Z}\) les podemos asignar una clase de equivalencia en \(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) y hacerlos operar bajo + o * y a su resultado, evidentemente le podremos asignar otra clase de equivalencia de la tabla, todo respetando las reglas de las operaciones. Ejemplo:

•  6 + 13 = [6] + [2] = [8] 
•  6 + 13 = 19 = [8] 
•  6*13 = 78 = 11*7+1 = [1] 
• 6*13 = [6]*[2]= [1] 

 Por otro lado, \((\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, +,·)\) también sería un cuerpo ya que.

1. Las operaciones son asociativas y conmutativas. 
2. La operación * es distributiva respeto a +. 
3. Existen elementos neutros diferentes para * y + designados como 1 y 0. 
4. Para la operación + existe para todo a un simétrico -a. 
5. Y para la operación * existe para todo a un inverso a^{-1}. 

Esto puede comprobarse en las tablas.

 Segunda parte. 

 ¿Son \((\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, +,·)\), \((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +,·)\) y \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, +,·)\) subanillos de \((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +,·)\)?
 \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) ha de ser \(\subset \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) no vacío y cumplirse que para a y b \(\in\) \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) a - b \(\in\) \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\).

 Lo dejo pendiente.
 ¿Es \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\)? 
Tablas de \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\)

*	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

 Y clases de equivaelncia:
$$[0] = (3,6,9,12,15,...)$$ $$[1] = (1,4,7,10,13,16,...)$$ $$[2] = (2,5,8,11,14,...)$$

Ejercicio de estructuras algebraicas 4

Este es el ejercicio 6 de de la evalucación del fascículo "Estructuras algebricas" para docentes de secundaria del Ministerio de Educación de Perú. Y aquí exponemos quizás una solución  Este ejercicio en concreto resulta muy interesante ya que se han de refrescar las características de un grupo y de un anillo, así como la teoría de conjuntos para su resolución. Vamos, que es un ejercicio completo, como la natación.

 Si \( E \neq \varnothing \) , demuestre que \((\wp(E), \Delta,\cap )\) es un anillo conmutativo unitario. 

 Para que \((\wp(E), \Delta,\cap )\) sea un anillo ha de cumplirse:

•  Que \((\wp(E),\Delta)\) sea un grupo abeliano (conmutativo). 
•  Que la operación \(\cap\), que ha de ser cerrada en el conjunto, sea asociativa. 
•  Que la operación \(\Delta\) sea distributiva respecto a la operación \(\cap\). 

 A parte, para que el anillo sea conmutativo la operación \(\cap\) ha de ser conmutativa y para que el anillo sea unitario la operación \(\cap\) ha de tener un elemento neutro diferente al elemento neutro de la operación \(\Delta\).

 En primer lugar vamos a demostrar que \((\wp(E),\Delta)\) es un grupo abeliano. 

 La operación diferencia simétrica es cerrada en \( \wp(E) \) \((A\Delta B) = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)\) \(A,B \in \wp(E)\) entonces \((A\Delta B) \in \wp(E)\).
 Demostramos que la operación \(\Delta\) es asociativa.
 $$A\Delta (B \Delta C) $$$$= A \Delta ((B \cap \overline{C}) \cup (\overline{B} \cup C))$$$$= [\overline{A} \cap ((B \cap \overline{C}) \cup (\overline{B} \cap C)) ] \cup [ A \cap \overline{((B \cap \overline{C}) \cup (\overline{B} \cap C))}]$$$$ = (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup [A \cap ((\overline{B} \cup C) \cap (B \cup \overline{C})]$$$$ = (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup [A \cap ((\overline{B} \cap B) \cup (\overline{B} \cap \overline{C}) \cup (C \cap B) \cup (C \cap \overline{C}))]$$$$ = (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup (A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup ( A \cap C \cap B ) $$$$ = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C} ) \cup ( \overline{A} \cap \cap B \cap \overline{C}) \cup [(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) \cup ( B \cap A \cap C)] $$$$ = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C} ) \cup ( \overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup { [(\overline{A} \cap A ) \cup ( \overline{A} \cap \overline{B}) \cup ((B \cap A ) \cup ( B \cap \overline{B})] \cap C } $$$$ = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C} ) \cup ( \overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup [(\overline{A} \cup B ) \cap (A \cup \overline{B} )] \cap C] $$$$ = (A \cap \overline{B} \cap \overline{C} ) \cup ( \overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup [\overline{(A \cap \overline{B} ) \cup (\overline{A} \cap B) } \cap C ]$$$$ = [(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B ) ]\Delta C $$$$= ( A \Delta B ) \Delta C $$
 A continuación veamos que la operación \( \Delta \) en el conjunto \( (P(E),\Delta ) \) tiene elemento neutro e de forma que \( A \Delta e = A \).
Veamos que el elemento neutro de la operación \( \Delta \) es \( \varnothing \).
Veamos que para cualquier A tenemos lo siguiente:
 $$ A \Delta \varnothing = (A \cap \overline{\varnothing}) \cup (\overline{A} \cap \varnothing )$$$$ (A \cap U) \cup (\overline{A} \cap \varnothing ) $$$$ A \cup \varnothing = A $$
 Ahora vamos a ver como el mismo elemento A es su inverso. El inverso \( A^{-1} \) de un elemento A es tal que \( A \Delta A^{-1} = A^{-1} \Delta A = A \). El elemento inverso \( A^{-1} \) de un elemento A cualquiera para la operación \( \Delta \) en \( \wp(E) \) es el mismo A. Veámoslo:
 $$ A \Delta A = (A \cap \overline{A}) \cup (\overline{A} \cap A ) = \varnothing $$ Como final, claramente la operación es conmutativa: $$ A \Delta B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = B \Delta A $$
 Con todo lo anterior demostramos que \( (\wp(E), \Delta) \) es un grupo conmutativo o abeliano. 
q.e.d.

 Ahora vamos a ver que \( (\wp(E), \Delta, \cap \) es un anillo conmutativo y unitario. 

 Para ello hemos de mostrar las restantes características reverenciadas al principio. Es directo ver que la operación conjunción \( \cap \) es asociativa dadas sus características, de forma que \( A \cap (B \cap C) = (A \cap B ) \cap C \).
Ahora hemos de mostrar que la operación \(\cap \) es distributiva en relación a \( \Delta \). Veámoslo:
 $$ A \cap ( B \Delta c)$$ $$= A \cap [(B \cap \overline{C}) \cup (\overline{B} \cap C )]$$ $$= ( A \cap ( B \cap \overline{C})) \cup ( A \cap (\overline{B}\cap C))$$ $$= [(A \cap B ) \cap (\overline{A} \cup \overline{C})] \cup [(\overline{A} \cup \overline{B}) \cap (A \cap C)]$$$$= [(A \cap B ) \cap (\overline{A \cap C})] \cup [(\overline{A \cap B}) \cap (A \cap C)]$$$$= ( A \cap B ) \Delta ( A \cap C )$$

También, el elemento unitario de la operación \( \cap \), que es diferente del de la operación \( \Delta \) es el elemento U (Universo) de forma que \( \overline{U}=\varnothing \) y \( \overline{\varnothing} = U \). Así, cualquiera que sea A en \(\wp(E)\):
$$A \cap U = A$$
 Y vemos que \(U \neq \varnothing \).
  Por último la operación \cap es claramente conmutativa, \( A \cap B = B \cap A \).
 Con todo lo anterior se demuestra que \((\wp(E), \Delta,\cap )\) es un anillo conmutativo unitario.

q.e.d.

Ejercicio de estructuras algebraicas 3

Quizás una solución al Ejercicio 3 sobre estructuras algebraicas de un dosier para profesores de secundaría de Perú.

 En \((\mathbb{R}\), *), se define la operación \(*\) como: \(a*b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).

Determine el elemento neutro.
 El elemento neutro para la operación definida es 0. Veámoslo.
$$a*0=\sqrt{a^{2}+0^{2}}=a$$ $$0*a=\sqrt{0^{2}+a^{2}}=a$$  q.e.d.

¿Qué elementos tienen inverso?
Sólo el 0 tiene inverso de manera que \(e*e=e\), no existiendo ningun número en \(\mathbb{R}\) diferente de 0 que \(\sqrt{a^{2}+a'^{2}}=0\)

q.e.d.

Ejercicio de estructuras algebraicas 2

Quizás una solución al Ejercicio 2 sobre estructuras algebraicas de un dosier para profesores de secundaría de Perú.

 En \((\mathbb{Q*}\), *), se define la operación * como: \(a*b=a+\frac{1}{b}\).
 El conjunto \(\mathbb{Q}\) es el de los números racionales (\(\frac{a}{b}\) siendo a y b números enteros).

 ¿Es la operación * conmutativa y asociativa?

Veamos si es conmutativa.
\(a*b=a+\frac{1}{b}\) y \(b*a=b+\frac{1}{a}\), por lo que \(a*b \neq b*a\).
Poniendo un ejemplo: \(1*2=\frac{3}{2}\) y \(2*1=\frac{3}{1}\)

Consideremos si es asociativa.
$$(a*b)*c =(a+\frac{1}{b})+\frac{1}{c} =\frac{abc+b+c}{bc}$$
$$a*(b*c) =a*(b+\frac{1}{c}) = a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}} =\frac{qbc+a+c}{bc+1}$$
 Como vemos, \(a*(b*c) \neq (a*b)*c \).
La operación * no es ni comnutativa ni asociativa.
 q.e.d.

¿Tiene la operación * elemento neutro?

Como hemos demostrado, la operación * no es conmutativa, por lo tanto no existira un elemento e único tal que \(a*e=e*a=a\).
 q.e.d.

Ejercicios de estructuras algebraicas

Quizás una solución al Ejercicio 1, sobre estructuras algebraicas, de la autoevaluación de un dosier del Ministerio de Perú para docentes de secundaria.

En \((\mathbb{R}\), *), se define la operación * como: \(a*b=\frac{a+b}{2}\).

¿Es la operación * conmutativa?
Para que la operación sea conmutativa hemos de demostrar que a*b = b*a.
Puesto que la adición es conmutativa, a+b = b+a, tenemos que \(\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}\).
q.e.d.

 ¿Es la operación * asociativa?
Para que la operación sea asociativa hemos de demostrar que (a*b)*c = a*(b*c).
\((a*b)*c\) = \((\frac{a+b}{2})*c\)
= \(\frac{\frac{a+b}{2}+c}{2}\)
= \((\frac{a+b}{4})+\frac{c}{2}\).
Por otro lado:
\(a*(b*c)\) = \(a*(\frac{b+c}{2})\)
= \(\frac{a+\frac{b+c}{2}+c}{2}\)
= \(\frac{a}{2})+\frac{b+c}{4}\).
Vemos que \((\frac{a+b}{4})+\frac{c}{2}\) \(\neq\) \(\frac{a}{2})+\frac{b+c}{4}\), por lo tanto \((a*b)*c\) \(\neq\) \(a*(b*c)\) no siendo * una operación asociativa.
q.e.d.

 ¿Es \(*\) una operación reflexiva?
Expresado formalmente: \(\forall a \in \mathbb{R}|a*a=a\).
Vemos que \((a*a)=\frac{a+a}{2}=a\), demostrándose que * es reflexiva.
q.e.d.

Nota:
q.e.d. "Quot erat demonstrandum" (lo que se quería demostrar) es una forma arcaica de dar por terminada una demostración.

Hoy se conmemora el 172 nacimiento de Auguste Rodin, Google le ha dedicado un doodle.

Curiosamente, hoy también me han regalado un bronce de Francisco Martín Molina, un reconocido escultor malagueño,  de un mono pensante.

 Es curiosa la diferencia con el pensador. Apoyado en un bloque de mármol negro, el mono (así se llama la obra: “Mono”), bajo su gorro de lana, hace esfuerzos por pensar, sacando la lengua como un escolar que hace sus primeras sumas.

Parece que el primate se disfrace doblemente de humano. Una imagen sutilmente cómica. Sin embargo, ¿de qué se disfraza el pensador de Rodin? ¿Piensa el hombre con lógica y eficiencia, con profundidad?

Algunos chimpancés han sido entrenados para utilizar los signos del lenguaje de una forma muy eficaz. Cuando Premack preguntaba a uno de sus monos de que color era una pieza de plástico azul que simbolizaba un plátano, el mono señalaba la pieza de plástico que significaba “amarillo”. Entendía que le preguntaba por el significado y no por el significante. 

Por otro lado, a la mayoría de nosotros nos cuesta pensar en términos auténticamente lógicos (inscríbanse a un curso universitario de álgebra abstracta y se darán cuenta de lo que les digo). Pensamos en general de una forma mágica y llamamos a eso “pensar”.

Sin duda, la verdadera imagen del pensamiento humano (al menos el general) se parece más a la figura de Francisco Molina que a la de Auguste Rodin.  

Elemento neutro e inverso

• En la operación +, el elemento neutro es el 0 y el elemento inverso el -a para cualquier a.
• En la operación x, el elemento neutro es el 1 y el elemento inverso el 1/a (o a elevado a menos uno) para cualquier a. 

Fascículo claro sobre estructuras algebraicas del Ministerio de Educación de Perú, para docentes de matemáticas en secundaria: Estructuras algebraicas.

Ejercicio libre de "Estadística con R"

Tenemos un grupo de estudiantes en un aula virtual del grado de matemáticas de la UNED, el  momento que termina la clase, algunos se despiden por el “chat”. Sin considerar al primer estudiante que se despide, 18 estudiantes se despiden x segundos después de este primero. 

Establezcamos un intervalo de confianza de 0,95 para la media de segundos que tardan en despedirse los estudiantes. 

Como la varianza no es conocida, utilizaremos la distribución de Student (de serlo utilizaríamos la normal). 

Para el intervalo de confianza utilizamos la siguiente fórmula.

Que con los datos:

La S representa la quasidesviación típica. El valor de 2,111, sale de la siguiente tabla.

 Utilizamos los valores T, como se suele hacer con valores Z de la distribución normal (que coinciden con las desviaciones típicas, fíjense que un valor Z de 1,96 -2 DT- deja por encima justo al 2,5% de la distribución). 

El resultado que obtenemos es que la media verdadera está entre 4,94 y 10,94 segundos con una seguridad del 95%. Siendo la media de la muestra 7,94.

Ahora les mostraré una gráfica del ejercicio y el código del cálculo en R. 

> seg<-c(1,2,2,2,2,4,4,5,8,9,10,10,10,10,12,13,14,25)
#Calcula el I.C.
> t.test(seg)
        One Sample t-test

data:  seg 
t = 5.595, df = 17, p-value = 3.219e-05
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
  4.948686 10.940203 
sample estimates:
mean of x 
 7.944444 
#genera el gráfico
> barplot(seg)
> x<-c(7.94,7.94)
> y<-c(0,0)
> abline(x,y) 
> sup<-c(10.94,10.94)
> inf<-c(4.94,4.94)
> abline(sup,y)
> abline(inf,y)

Los consejos de monje

Fratello Metallo (Imagen sólo enlazada)

Todavía recuerdo la jadeante voz de mi viejo maestro tras sus barbas, gastada como debe sonar la mía ahora.

El oro es codiciado por lo costoso de encontrarlo y arrancarlo de la tierra, pero descubrirás que obtener la sabiduría lo es más. Ahora, la mayoría de los libros de esta biblioteca te están cerrados por mucho que puedas pasar sus páginas y cantar sus  signos. Un libro te abrirá otros. Esfuérzate por encontrar esas llaves.

Huye de las vanas reflexiones, de la palabrería sin pruebas ni demostraciones aristotélicas. Mucha palabra estéril acudirá a tu mente en tus horas de encierro, no la ensucies todavía más con el vómito de otros. 

Para aprender virtud, fíjate en las criaturas del Señor, excepto en esta que se le descarrió. No pongas tu esperanza en el rico y poderoso ya que se deben a muchos amos. Se íntegro con los humildes y te ofrecerán ojos y manos y el Santo te abrirá senderos por donde no se puede pasar a caballo. 

Podría revelarte algunas realidades, pero te serían más un lastre que una ayuda.

Ésta es toda la enseñanza que tengo que darte. No hay más. 

A partir de ahora me traerás una jarra de vino cada mañana (sin que se entere el prior) y te ocuparás de tus tareas. 

El conjunto de la cola del concierto

Test de factor G.

¿Cuál es tu C.I.?

Esos test están inherentemente sesgados

Ala! Tan bajo, eh?

Seguramente habrán oído hablar de los famosos test de inteligencia. Existen algunos especialmente diseñados para estar libres de influencias culturales, estos se basan en determinar un factor general de inteligencia. Se supone que quien realiza bien ciertos ejercicios mentales también tenderá a rendir en otras tareas intelectuales. Los típicos ejemplos de ese tipo de test son las Matrices Progresivas Raven o el test de Factor G de Cattell. Existen otros, más costosos de aplicar que se basan en una colección de pruebas, como la escala de Wechsler (hay diferentes escalas para niños y adultos) a algunos les sonará por ser el del maletín. 

La mayoría de pruebas de este tipo que encontrará por Internet no son más que pasatiempos y no tienen la validez de un verdadero test de inteligencia (psicométrica), sin embargo es posible encontrar algunos bastante buenos dentro de la gratuidad. Xavier Jouve, un psicometrista francés, en ocasiones ofrece algunos de estos test de forma gratuita. Actualmente es posible realizar uno de esos test libres de cultura en su web. Aunque el inicio está en inglés, la prueba es abstracta, así que el idioma no les será un problema.   

Jouve-Cerebrals Test of Induction

Para empezar: el botón gris. 

y 2º intento

Por cierto:¿Cómo les ha ido?

Álgebra